Mythos Unendlichkeit

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Mythos Unendlichkeit



Ist das Weltall grenzenlos? Können Mathematiker das Unendliche in Formeln bändigen? Über seine Natur zerbrechen sich Philosophen, Wissenschaftler und Theologen seit Jahrtausenden den Kopf

Der nächtliche Sternenhimmel hat die Menschen schon immer tief berührt und zum Nachdenken angeregt. Wie viele Sterne gibt es? Ist das Weltall unendlich groß? Diese Fragen drängen sich beim Blick in das unermeßlich scheinende Schwarz des mit funkelnden Sternen gesprenkelten Himmels geradezu auf. Doch weder ein unendliches All noch ein räumlich begrenztes Universum können wir uns so recht vorstellen.

"Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit", scherzte einmal Albert Einstein, "aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher." Und bis heute sind sich die Wissenschaftler in dieser Frage nicht ganz sicher. Akzeptiert man das Urknallmodell, dann kann sich das Weltall in den 13,7 Milliarden Jahren seiner bisherigen Existenz nur bis zu einer bestimmten Größe aufgeblasen haben. Der Radius des sichtbaren Weltalls beträgt demnach maximal 13,7 Milliarden Lichtjahre, und es wäre damit endlich. Jenseits dieses Volumens läge eine grundsätzlich unvorstellbare Terra incognita. Dennoch fragt der menschliche Geist weiter: Was liegt hinter dem Rand unseres Universums, wenn es endlich sein sollte?

Die meisten Astrophysiker sind derzeit davon überzeugt, daß sich das Universum immer weiter ausdehnt und es damit zumindest perspektivisch unendlich ist. Noch vor wenigen Jahren wurde eine andere Theorie diskutiert: Wenn die Masse im Weltall einen bestimmten Wert überschreiten sollte, dann würde die derzeit zu beobachtende Expansion des Universums aufgrund der Gravitationskräfte irgendwann zum Stillstand kommen. Anschließend könnte es gar wieder in sich zusammenstürzen. Die Entdeckung der sogenannten dunklen Materie und die ebenfalls recht frische Erkenntnis, daß Neutrinos - winzige Elementarteilchen, die überall in Sternen produziert werden - nicht massefrei sind, sprachen für diese Theorie eines "Zurück zum Urknall" und einer Endlichkeit des Alls. Diese Sicht der Dinge hatten Gelehrte bereits in der Antike vertreten - ganz ohne Teleskope und Forschungssatelliten. Aristoteles glaubte an ein endliches Universum, das allerdings von einer unendlichen Leere umgeben sein sollte.

Doch im Moment liegen die Astrophysiker wieder eher auf der Linie des Philosophen Immanuel Kant, der in seiner Königsberger Studierstube zu der Überzeugung gelangte, daß das Universum unendlich sei. Erst vor wenigen Jahren entdeckten Forscher die überaus mysteriöse "dunkle Energie", die gleichförmig im Weltall verteilt ist und wie eine Antigravitationskraft wirkt. Damit wird die Anziehungskraft der sichtbaren und unsichtbaren Materie überkompensiert: Das All dehnt sich unendlich aus. "Das ewige Schweigen dieser unendlichen Räume erschreckt mich", hatte schon im 17. Jahrhundert der französische Philosoph Blaise Pascal formuliert. Und Johann Wolfgang von Goethe erschauderte: "Wo faß ich dich, unendliche Natur."
auszug welt.de
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Ein wirklich toller Artikel, den man über den LINK lesen muss(3 Seiten).

Ist Unendlichkeit in Formeln zu fassen ?

[malnachdenken]

Ein wirklich toller Artikel, den man über den LINK lesen muss(3 Seiten).

Ist Unendlichkeit in Formeln zu fassen ?

Fand die Begrifflichkeit "Unendlichkeit" schon immer faszinierend. Schon zu Schulzeiten im Matheunterricht kam mir diese schon sehr seltsam vor. Man betrachte eine einfache Formel: Was wäre "unendlich+unendlich"? Hat man sich eine befriedigende Antwort zurechtgelegt, dann könnte man sich die Lösung für entsprechenden Subtraktion überlegen...

Man kann dies dann aber auch weiterspinnen, indem man die Anzahl der natürlichen Zahlen mit der Anzahl der Bruchzahlen zwischen 1 und 2 vergleicht.

Kopfschmerzen sind da irgendwann garaniert

[Luzifers Freund]

Die Lösung steckt im Detail. WENN es einen Urknall, einen Big Bang gab, dann ist "unser" Universum endlich. Es muss also eine Grenze geben. Diese Grenze ist aber für uns (noch) nicht erreichbar, denn der Raum ist gekrümmt. Wir können mit allen jemals erdenklichen Mitteln immer "geradeaus bis zum Morgengrauen" reisen. Aber durch die Krümmung des Raumes sind wir gezwungen diesen Weg zu nehmen, der uns immer an den Ausgangspunkt zurückbringt.
Erst wenn es uns gelingt quer zur Krümmung zu reisen, wird es uns gelingen über die Grenzen hinaus ins Nachbaruniversum oder was immer "dort" auch ist zu stoßen.

[Inspektor Wanninger]

Die Lösung steckt im Detail. WENN es einen Urknall, einen Big Bang gab, dann ist "unser" Universum endlich. Es muss also eine Grenze geben. Diese Grenze ist aber für uns (noch) nicht erreichbar, denn der Raum ist gekrümmt. Wir können mit allen jemals erdenklichen Mitteln immer "geradeaus bis zum Morgengrauen" reisen. Aber durch die Krümmung des Raumes sind wir gezwungen diesen Weg zu nehmen, der uns immer an den Ausgangspunkt zurückbringt.
Erst wenn es uns gelingt quer zur Krümmung zu reisen, wird es uns gelingen über die Grenzen hinaus ins Nachbaruniversum oder was immer "dort" auch ist zu stoßen.

Aber du weißt, wie relativ gering beispielsweise die Raumkrümmung durch unsere Sonne ist. Trotz ihrer gewaltigen Masse bringt sie zwei entfernte Punkte der Raumzeit nicht besonders viel näher zusammen, sondern erzeugt nur eine relativ kleine Delle, die freilich ausreicht, die Planeten aufgrund ihrer Umlaufgeschwindigkeit auf der Bahn zu halten. Keine Spur von einem Effekt, wie er mit dem Zusammenfalten eines Blattes Papier vergleichbar wäre.
Wie also, will man jemals solche Energien erzeugen, die dazu nötig sind?

Selbst wenn das möglich wäre, wäre das nur mit einer ziemlichen Deformation im Raum-Zeit-Kontinuum vorstellbar, was ich aber für gefährlich halte. Wir wissen ja nicht, ob unser Universum nicht mit einem Luftballon vergleichbar ist, der einfach platzt, wenn man sie nur an einem winzig kleinen Punkt beschädigt, bzw. ihn zu stark deformiert.

[Luzifers Freund]

Aber du weißt, wie relativ gering beispielsweise die Raumkrümmung durch unsere Sonne ist. Trotz ihrer gewaltigen Masse bringt sie zwei entfernte Punkte der Raumzeit nicht besonders viel näher zusammen, sondern erzeugt nur eine relativ kleine Delle, die freilich ausreicht, die Planeten aufgrund ihrer Umlaufgeschwindigkeit auf der Bahn zu halten. Keine Spur von einem Effekt, wie er mit dem Zusammenfalten eines Blattes Papier vergleichbar wäre.
Wie also, will man jemals solche Energien erzeugen, die dazu nötig sind?

Selbst wenn das möglich wäre, wäre das nur mit einer ziemlichen Deformation im Raum-Zeit-Kontinuum vorstellbar, was ich aber für gefährlich halte. Wir wissen ja nicht, ob unser Universum nicht mit einem Luftballon vergleichbar ist, der einfach platzt, wenn man sie nur an einem winzig kleinen Punkt beschädigt, bzw. ihn zu stark deformiert.

Ja da hast du wohl nicht ganz unrecht. ABER: hat man nicht gedacht, dass man herunterfällt von der Erde, wenn man den Horizont erreicht hat?

Wie man diese Energien erzeugen könnte weiß ich (noch) nicht. Aber eines Tages wird ein Mensch diese Grenze durchstoßen.
Schwarze Löcher könnten ein möglicher Weg sein den Raum zu falten.

[Inspektor Wanninger]

Außerdem darf man nicht vergessen, daß weder etwas zu groß sein kann, als daß man es nicht nochmal verdoppeln könnte, noch daß etwas zu klein sein kann, als daß man es nicht nochmal halbieren könnte. Womöglich bleibt unserem Universum gar nichts anderes übrig, als unendlich zu sein. Es kommt aus der unendlichen Winzigkeit und geht in die unendliche Riesigkeit.
Für uns ist beispielsweise ein Sandkorn winzig klein, aber für ein Sand-Atom ist das Sandkorn ein Gigant. Genauso könnte der Urknall schon seit allen Ewigkeiten stattfinden. Er spielte sich zunächst nur auf einer so winzigen Ebene ab, die außerhalb unserer Vorstellungskraft liegt.
Vergesst nicht: Dem Kosmos mangelt es nicht an Platz. In jedem Atomkern steckt genug Platz für unendlich viele Universen. Man müsste halt nur den Kopf weit genug einziehen können, um sich davon selbst überzeugen zu können.

[twoxego]

Fand die Begrifflichkeit "Unendlichkeit" schon immer faszinierend.

hallo malnachdenken !

mir geht es genauso.
gehört zwar nur halb hierher, dennoch:

das merkwürdigste an der unendlichkeit ist für mich noch immer zenons paradox.
was das mit dem universum und dem ganzen rest zu tun hat, schreibe ich hier nicht
hin; das würde sicherlich deine intelligenz beleidigen.

" Achilles, der große Krieger, läuft mit einer Schildkröte über - sagen wir mal - 200 m um die Wette. Da Achilles zehnmal schneller läuft als die Schildkröte, bekommt diese der Fairness halber einen Vorsprung von 100 m. Der Gesunde Menschenverstand beharrt darauf, und ist durch nichts von dieser Überzeugung abzubringen, daß Achilles die Schildkröte sehr bald eingeholt haben wird und damit den Wettlauf gewinnt. Und wenn der Gesunde Menschenverstand soweit reicht, lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen, dann wird er bei unseren Ausgangszahlen errechnen können, daß Achilles die Schildkröte nach 111,111... m eingeholt haben wird.

In diese Selbstverständlichkeit bricht Zenon ein und beweist mit logikscharfem Besteck, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird, niemals einholen kann. In dem Moment nämlich, argumentiert Zenon, da Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, ist diese ihrerseits 10 m weiter, also bei 110 m. Hat Achilles die 110 m erreicht, so ist er immer noch nicht bei der Schildkröte, denn die ist inzwischen wiederum 1 m weiter gekrochen, auf 111 m. Ist Achilles bei 111 m, so ist die Schildkröte bei 111,10 m, und so weiter, und so fort.

Immer dann, wenn Achilles jenen Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte zuletzt war, ist die Schildkröte jeweils wieder ein Stück weiter, so daß Achilles im Laufe des Wettkampfes der Schildkröte zwar sehr, sehr nahekommen wird, sie aber niemals vollständig erreichen und - logischerweise - also auch niemals überholen kann. Denn die Schildkröte bleibt immer um ein winziges - wenn auch mit jedem Schritte winziger werdendes - Stück vor Achilles.

Der Vorsprung der Schildkröte wird, so schlußfolgert Zenon, im Laufe der Zeit zwar unendlich klein, völlig verschwinden aber wird er nie. Der schnelle Achilles bleibt also bei allem Strampeln stets hinter dem gemächlichen Tier. "


gruss twoxego

[Inspektor Wanninger]

hallo malnachdenken !

mir geht es genauso.
gehört zwar nur halb hierher, dennoch:

das merkwürdigste an der unendlichkeit ist für mich noch immer zenons paradox.
was das mit dem universum und dem ganzen rest zu tun hat, schreibe ich hier nicht
hin; das würde sicherlich deine intelligenz beleidigen.

" Achilles, der große Krieger, läuft mit einer Schildkröte über - sagen wir mal - 200 m um die Wette. Da Achilles zehnmal schneller läuft als die Schildkröte, bekommt diese der Fairness halber einen Vorsprung von 100 m. Der Gesunde Menschenverstand beharrt darauf, und ist durch nichts von dieser Überzeugung abzubringen, daß Achilles die Schildkröte sehr bald eingeholt haben wird und damit den Wettlauf gewinnt. Und wenn der Gesunde Menschenverstand soweit reicht, lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen, dann wird er bei unseren Ausgangszahlen errechnen können, daß Achilles die Schildkröte nach 111,111... m eingeholt haben wird.

In diese Selbstverständlichkeit bricht Zenon ein und beweist mit logikscharfem Besteck, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird, niemals einholen kann. In dem Moment nämlich, argumentiert Zenon, da Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, ist diese ihrerseits 10 m weiter, also bei 110 m. Hat Achilles die 110 m erreicht, so ist er immer noch nicht bei der Schildkröte, denn die ist inzwischen wiederum 1 m weiter gekrochen, auf 111 m. Ist Achilles bei 111 m, so ist die Schildkröte bei 111,10 m, und so weiter, und so fort.

Immer dann, wenn Achilles jenen Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte zuletzt war, ist die Schildkröte jeweils wieder ein Stück weiter, so daß Achilles im Laufe des Wettkampfes der Schildkröte zwar sehr, sehr nahekommen wird, sie aber niemals vollständig erreichen und - logischerweise - also auch niemals überholen kann. Denn die Schildkröte bleibt immer um ein winziges - wenn auch mit jedem Schritte winziger werdendes - Stück vor Achilles.

Der Vorsprung der Schildkröte wird, so schlußfolgert Zenon, im Laufe der Zeit zwar unendlich klein, völlig verschwinden aber wird er nie. Der schnelle Achilles bleibt also bei allem Strampeln stets hinter dem gemächlichen Tier. "


gruss twoxego

Für mich ist Zenons Paradox der Beweis, daß man mit Mathematik zwar viele, aber nicht jedes Rätsel lösen kann.

[twoxego]

Für mich ist Zenons Paradox der Beweis, daß man mit Mathematik zwar viele, aber nicht jedes Rätsel lösen kann.

das stimmt.
dennoch ist es ein nettes gedankenexperiment.

es trifft sich in gewisser weise gar noch mit der theorie der unendlichen verlangsamung der ausdehnung des universums.

gruss twoxego

[John Donne]

hallo malnachdenken !

mir geht es genauso.
gehört zwar nur halb hierher, dennoch:

das merkwürdigste an der unendlichkeit ist für mich noch immer zenons paradox.
was das mit dem universum und dem ganzen rest zu tun hat, schreibe ich hier nicht
hin; das würde sicherlich deine intelligenz beleidigen.

" Achilles, der große Krieger, läuft mit einer Schildkröte über - sagen wir mal - 200 m um die Wette. Da Achilles zehnmal schneller läuft als die Schildkröte, bekommt diese der Fairness halber einen Vorsprung von 100 m. Der Gesunde Menschenverstand beharrt darauf, und ist durch nichts von dieser Überzeugung abzubringen, daß Achilles die Schildkröte sehr bald eingeholt haben wird und damit den Wettlauf gewinnt. Und wenn der Gesunde Menschenverstand soweit reicht, lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen, dann wird er bei unseren Ausgangszahlen errechnen können, daß Achilles die Schildkröte nach 111,111... m eingeholt haben wird.

In diese Selbstverständlichkeit bricht Zenon ein und beweist mit logikscharfem Besteck, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird, niemals einholen kann. In dem Moment nämlich, argumentiert Zenon, da Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, ist diese ihrerseits 10 m weiter, also bei 110 m. Hat Achilles die 110 m erreicht, so ist er immer noch nicht bei der Schildkröte, denn die ist inzwischen wiederum 1 m weiter gekrochen, auf 111 m. Ist Achilles bei 111 m, so ist die Schildkröte bei 111,10 m, und so weiter, und so fort.

Immer dann, wenn Achilles jenen Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte zuletzt war, ist die Schildkröte jeweils wieder ein Stück weiter, so daß Achilles im Laufe des Wettkampfes der Schildkröte zwar sehr, sehr nahekommen wird, sie aber niemals vollständig erreichen und - logischerweise - also auch niemals überholen kann. Denn die Schildkröte bleibt immer um ein winziges - wenn auch mit jedem Schritte winziger werdendes - Stück vor Achilles.

Der Vorsprung der Schildkröte wird, so schlußfolgert Zenon, im Laufe der Zeit zwar unendlich klein, völlig verschwinden aber wird er nie. Der schnelle Achilles bleibt also bei allem Strampeln stets hinter dem gemächlichen Tier. "


gruss twoxego

Das ist ein sehr klassisches Beispiel. Lösbar ist es aber dennoch. Was Zenon nicht beachtet ist, daß eine Summe, die aus unendlichen vielen Summanden besteht, durchaus einen endlichen Wert haben kann. Die Summe von 10 hoch (2-n), wobei man n von 0 bis unendlich laufen läßt, ergibt eben 111,111...., was nichts anderes ist als eine Entwicklung von 1000/9. "Gegen unendlich laufen lassen" (d.h. Grenzwertbildung) ist allerdings etwas, wobei man wissen sollte, was man tut - geistig, denn praktisch ist es ohnehin unmöglich. So wundert es nicht, daß sich die entsprechenden Methoden in der Mathematik historisch recht spät entwickelt haben.

@malnachdenken:
Was Du beschreibst, hat Cantor damals erfolgreich getan - wurde allerdings von seinen Kollegen dafür teilweise niedergemacht. Der Mengebegriff war damals allerdings auch noch nicht sauber definiert, das geschah meines Wissens nach erst nach der Russelschen Antinomie. Die finde ich selbst noch interessanter als das Zenonsche Paradoxon. Richtig Kopfschmerzen bereitet mir die Beschäftigung mit Kategorientheorie. Topologie, woraus sie entstand, (Topologie ist die Lehre, die besagt, daß ein Donut und eine Kaffetasse in gewisser Weise gleichartig sind, da beide ein Loch haben) hat m.E. allerdings zumindest in Teilen den Hang zum Pathologischen.
Letztlich bleibt das Unendliche mysteriös und unerfahrbar und irgendwie auch unvorstellbar, auch wenn man mathematisch damit einigermaßen herumhampeln kann.

Grüße
John