Mathematische Kuriositäten

[dscheipi]

Beim Möbiusband geht es darum, daß es nicht orientierbar ist. Im Gegensatz zu einem "normal" zusammengeklebten Papierband gibt es nur eine Fläche (keine innere und äußere bzw. obere und untere) und nur eine Kante.
Das ist eigentlich schon alles. Ein normales Blatt Papier hat ja eine Vorderseite und eine Rückseite.
Bedrucke einfach ein DIN-A4-Blatt einseitig. Scheide es auf 1/4 der Breite zu, so daß ein länglicher Streifen entsteht, der immer noch einseitig bedruckt ist. Klebe ihn wie unten rechts dargestellt zusammen.

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Dann stellst Du fest, daß es keine zwei Seiten mehr gibt (eine bedruckte und eine unbedruckte), sondern nur noch eine, die teilweise bedruckt ist.

danke, eine idiotensichere erklärung, die ich auf anhieb kapiert hab.

was ist der symbolgehalt, aufs leben hin gesehen, der damit verbunden ist?


mir fiel grad ein "wie aussen so innen", aber wenns kein aussen und innen dann nicht mehr gibt, passt das auch nicht.

musst du dich beruflich mit solchem zeug befassen?

[Differentialgeometer]

heißt das nicht einfach nur das unsere mathematischen Modelle, die Mathematik ansich, unsere physische erlebbare Welt nur unvollständig oder teilweise beschreiben können. In der realen physischen Welt gibt es ja keine Paradoxen.

Anders: die Natur ist ein Spezialfall, die Mathematik ist ja auf alles vorbereitet

[opppa]

Bei den alten Römern war in Gleichungen X immer = 10!

[Politikqualle]

heißt das nicht einfach nur das unsere mathematischen Modelle, die Mathematik ansich, unsere physische erlebbare Welt nur unvollständig oder teilweise beschreiben können. In der realen physischen Welt gibt es ja keine Paradoxen.

.. wenn das so wäre , dürfte kein Satellit , keine Rakete , keine Sonde oder sonstiges im All ihr Zeil finden und dort landen ..

[Differentialgeometer]

meine Kids und ich lieben die Story von Wind und Mr. Ug:

Möbiussche Bänder habe ich nie kapiert.

Beim Möbiusband geht es darum, daß es nicht orientierbar ist. Im Gegensatz zu einem "normal" zusammengeklebten Papierband gibt es nur eine Fläche (keine innere und äußere bzw. obere und untere) und nur eine Kante.
Das ist eigentlich schon alles. Ein normales Blatt Papier hat ja eine Vorderseite und eine Rückseite.
Bedrucke einfach ein DIN-A4-Blatt einseitig. Scheide es auf 1/4 der Breite zu, so daß ein länglicher Streifen entsteht, der immer noch einseitig bedruckt ist. Klebe ihn wie unten rechts dargestellt zusammen.



Dann stellst Du fest, daß es keine zwei Seiten mehr gibt (eine bedruckte und eine unbedruckte), sondern nur noch eine, die teilweise bedruckt ist.

danke, eine idiotensichere erklärung, die ich auf anhieb kapiert hab.

was ist der symbolgehalt, aufs leben hin gesehen, der damit verbunden ist?


mir fiel grad ein "wie aussen so innen", aber wenns kein aussen und innen dann nicht mehr gibt, passt das auch nicht.

musst du dich beruflich mit solchem zeug befassen?

[LOL]

Bei den alten Römern war in Gleichungen X immer = 10!

Und bei den Griechen heißt das X nicht X, sondern Chi (CH als scharfes H ausgesprochen).

[Differentialgeometer]

Eines meiner Lieblingsbeispiele für Mengen, die mind-blowing sind: die Cantormenge. Aufgrund der vielen Formeln zitiere ich aus Wikipedia:
“Die Cantormenge lässt sich mittels folgender Iteration konstruieren:Man beginnt mit dem abgeschlossenen [Links nur für registrierte Nutzer] der [Links nur für registrierte Nutzer] von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt (weggewischt), also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle und . Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: , , und . Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.
Mithilfe der Funktion
die beliebige Teilmengen des Intervalls wieder in Teilmengen von abbildet, lässt sich das Wegwischen des mittleren Drittels formalisieren. Dabei werden [Links nur für registrierte Nutzer] und Skalierung einer Menge elementweise vorgenommen.
Man geht aus von der Menge und setzt
für .Der Schnitt all dieser Mengen ist dann die Cantormenge
,und es ist . Die Cantormenge besteht somit aus allen Punkten, die jedes Wegwischen überlebt haben. Im Grenzfall (Schnitt über alle -ten Wischmengen, ) ist der Anteil am ursprünglichen Intervall Null, obwohl noch immer überabzählbar viele Elemente vorliegen. Dieses Konstruktionsverfahren ist verwandt mit dem für die [Links nur für registrierte Nutzer].
Explizite Formeln für die Cantormenge sind^{[Links nur für registrierte Nutzer]}
,wo jedes mittlere Drittel als das offene Intervall per [Links nur für registrierte Nutzer] aus dem abgeschlossenen Intervall gelöscht wird, oder
wo das mittlere Drittel aus dem abgeschlossenen Vorgänger-Intervall per [Links nur für registrierte Nutzer] mit der [Links nur für registrierte Nutzer] entfernt wird.“

Die so entsthende Menge ist:

• [Links nur für registrierte Nutzer], [Links nur für registrierte Nutzer], [Links nur für registrierte Nutzer] (ein „Diskontinuum“) und [Links nur für registrierte Nutzer];
• eine [Links nur für registrierte Nutzer]-[Links nur für registrierte Nutzer];
• [Links nur für registrierte Nutzer] und hat eine nichtganzzahlige [Links nur für registrierte Nutzer] (ist also ein [Links nur für registrierte Nutzer]);
• [Links nur für registrierte Nutzer] zum [Links nur für registrierte Nutzer] (der Menge aller reellen Zahlen), also insbesondere [Links nur für registrierte Nutzer].

[John Donne]

heißt das nicht einfach nur das unsere mathematischen Modelle, die Mathematik ansich, unsere physische erlebbare Welt nur unvollständig oder teilweise beschreiben können. In der realen physischen Welt gibt es ja keine Paradoxen.

In der realen Welt gibt es nach allem, was wir wissen, kein Kontinuum, keine Unendlichkeit. Zeit, Raum etc. bestehen aus kleinsten Einheiten, die sich sinnvoll nicht weiter unterteilen lassen (Planckzeit, Plancklänge). Das ist in der Mathematik anders.
Einige Mathematiker lehnen das beim Beweis von Banach-Tarski verwendete Auswahlaxiom ab.
Aber kurz gesagt, hast Du recht.

[Schwabenpower]

Es gibt ja in der Tat immer noch Dinge, die selbst den Mathematiker in mir verblüffen. Ich trage das mal hier zusammen, weitere Beiträge immer willkommen.
Als erstes Beispiel: Gabriels Horn bzw. Toricellis Trompete Diese hat die Eigenschaft, dass sie zwar ein endliches Volumen hat, aber unendliche Fläche!
Die Rechnung ist pille-palle und kann —>[Links nur für registrierte Nutzer] nachgelesen werden.

Was sagt den Mr. Allwissend zu Mathematik? Ach ja:

Als Mathematik bezeichnet man ein Relikt des menschlichen Geistes aus der weltgeschichtlichen Antike. Bei der Mathematik im engeren Sinne handelt es sich um eine Form der Abstrakten Kunst, die sich mit Zahlen und Zeichen sowie deren sinnloser, jedoch manchmal ästhetisch durchaus gelungener Aneinanderreihung befasst.

Für Mathematik existiert keine allgemein anerkannte Definition; die Begriffsdeutungen schwanken zwischen Wissenschaft und Geisteskrankheit.

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[Differentialgeometer]

In der realen Welt gibt es nach allem, was wir wissen, kein Kontinuum, keine Unendlichkeit. Zeit, Raum etc. bestehen aus kleinsten Einheiten, die sich sinnvoll nicht weiter unterteilen lassen (Planckzeit, Plancklänge). Das ist in der Mathematik anders.
Einige Mathematiker lehnen das beim Beweis von Banach-Tarski verwendete Auswahlaxiom ab.
Aber kurz gesagt, hast Du recht.

Häh? Die Aussage ist doch falsch: die Mathematik kann continuum, diskret, sämtliche Metriken, (über-)/abzählbar unendlich.... Die Modelle(!) sind ggfs „unzureichend“, aber das haben Modelle so an sich.