Mathematische Kuriositäten

[Trantor]

Jede Wahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt des Spiels, die für das zuerst gewählte Tor gilt, gilt auch für das Tor, zu dem gewechselt werden soll.

man kann das als Nichtmathematiker auch intuitiv verstehen wenn man sich anstatt 3 Tore zB 1000 tore vorstellt. Man wählt tor eins und der Moderator lässt daraufhin die tore 2-999 öffnen - jeder würde dann sofort auf das letzte Tor wechseln...

[SprecherZwo]

Das glaube ich nicht. Beide haben die gleiche Chance. 1/2*1/2*1/2

Es sei denn, die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Richtig, jede Kombination hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Ist mit dem Ziegenproblem nicht vergleichbar.

[kotzfisch]

?! Wie vorne bereits erwähnt: solange das Forum kein TeX zulässt, ist das einfacher als mir selbst einen mit den Formeln abzubrechen....

Dann entschuldige.

[Klopperhorst]

Es gibt ja in der Tat immer noch Dinge, die selbst den Mathematiker in mir verblüffen. Ich trage das mal hier zusammen, weitere Beiträge immer willkommen.
Als erstes Beispiel: Gabriels Horn bzw. Toricellis Trompete Diese hat die Eigenschaft, dass sie zwar ein endliches Volumen hat, aber unendliche Fläche!
Die Rechnung ist pille-palle und kann —>[Links nur für registrierte Nutzer] nachgelesen werden.

Es gibt einen guten Vortrag von Prof. Taschner dazu.



Mich würde mal deine Erklärung zu dem hier interessieren.
"Die paradoxe Vermehrung einer Kugel"



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[Differentialgeometer]

Wenn euch das Ziegenproblem gefallen hat, dann gefällt euch das hier sicher auch. Es ist der dreifache Münzwurf, den man auch schön als Kneipen- oder Partywette durchführen kann.

Benötigt werden zwei Spieler und eine Münze. Es geht darum, wer zuerst eine Serie von drei Münzwürfen(Kopf/Zahl) trifft, z.B. Kopf, Zahl, Kopf. Es wird so lange geworfen, bis einer der Spieler seine Kombination trifft. Damit nicht beide die gleiche Kombination wählen, gibt einer der Spieler, nennen wir ihn Spieler 1 seine gewählte Kombination bekannt. Danach wählt Spieler 2 seine Kombination aus. Ich behaupte nun, dass Spieler 2 einen Vorteil hat, weil nicht alle Kombinationen im direkten Aufeinandertreffen gleichwertig sind. Das erscheint seltsam, weil doch die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu treffen gleich ist, 50% oder als Bruch geschrieben 1/2. Beim dreifachen Münzwurf sollte man erwarten, das die Wahrscheinlichkeit für jede Dreierkombination 12,5% oder 1/8 ist, weil es ja 8 Möglichkeiten gibt.

Kopf Kopf Kopf
Zahl Zahl Zahl
Kopf Zahl Kopf
Kopf Kopf Zahl
Zahl Zahl Kopf
Zahl Kopf Zahl
Zahl Kopf Kopf
Kopf Zahl Zahl

Das verblüffende ist, dass diese Kombinationen im direkten Aufeinandertreffen nicht gleichwertig sind. Es gibt zu jeder dieser Kombinationen eine, die Spieler 2 einen Vorteil beschert und seine Gewinnwahscheinlichkeit auf 2/3 bis im besten Fall 7/8 erhöht. Das widerspricht völlig der Erwartung.

Ich zweige mal das Extrembeispiel, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 2 bei 7/8 liegt. Das ist der Fall, wenn Spieler 1 eine der beiden gleichartigen Kombinationen aufwählt, z.B.

Kopf Kopf Kopf

diese kann man mit

Zahl Kopf Kopf

brutal ausknocken

Zum Glück kann man sich diesem Phänomen mit Brutforcen annähern. Das macht auch mehr Spaß, als DG's reinkopierte Formeln.

a. Das ist eine Berufskrankheit - ich kann das nur korrekt wiedergeben.
b. Ohne die doofen, doofen Formeln gäbe es die ganze moderne Technik/Welt nicht.

[Differentialgeometer]

Es gibt einen guten Vortrag von Prof. Taschner dazu.



Mich würde mal deine Erklärung zu dem hier interessieren.
"Die paradoxe Vermehrung einer Kugel"



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Siehe den Beitrag von John Donne -->[Links nur für registrierte Nutzer]- das ist das Banach-Tarski-Paradoxon....

[Klopperhorst]

man kann das als Nichtmathematiker auch intuitiv verstehen wenn man sich anstatt 3 Tore zB 1000 tore vorstellt. Man wählt tor eins und der Moderator lässt daraufhin die tore 2-999 öffnen - jeder würde dann sofort auf das letzte Tor wechseln...

Damals gab es einen öffentlichen Streit in den USA über das Problem.
Es war damals nicht so "trivial". Sogar Mathematiker zweifelten es an, wie Briefe zu Marilyn Savant belegen.

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[Querfront]

Das glaube ich nicht. Beide haben die gleiche Chance. 1/2*1/2*1/2

Es sei denn, die Reihenfolge spielt keine Rolle.

Die Reihenfolge ist das Entscheidende.

Probier es doch einfach mal mit dem von mir genannten Beispiel aus. Noch haben wir alle Bargeld in Form von Münzen. Kleiner Tipp, es gibt durchaus Würfe, die beiden Spielern helfen. Das nutzt Spieler 2 aus.

[SprecherZwo]

Wie der Föhrer richtig bemerkte, handelte es sich bei Einsteins Formel um eine Ausgeburt jüdischer Physik. Um so erstaunlicher, daß echt-deutsche Phösiker bei der Entwicklung der A-Bombe ein klein wenig hinterherhinkten und sie um ein Haar über Berlin hätten bestaunen können.

Sie hinkten nicht hinterher. Die Herren vom Manhattan-Projekt konnten nur auf viel größere Ressourcen zugreifen. Trotzdem waren sie es, die z.B. bei der Urananreicherung hinterherhinkten.

[SprecherZwo]

Beispiel:
Andreas und Bernd trinken Schorle.
Andreas trinkt drei Gläser:
Glas 1 Inhalt davon Apfelsaft in %
300ml 100ml 1/3
Glas 2 200ml 150ml 3/4
zusammen 500ml 250ml 1/2

Bernd trinkt 3 Gläser:
Glas 1 Inhalt davon Apfelsaft in %
250ml 80ml 8/25 (weniger als Andreas' 1/3)
250ml 180ml 18/25 (weniger als Andreas' 3/4)
zusammen 500ml 260ml 13/25 (also mehr als die Hälfte Apfelsaft)

Bernd hat also bei beiden Gläsern verhältnismäßig weniger Apfelsaft getrunken, gesamt aber etwas mehr - bei gleicher Schorlemenge.
Diese Verwerfungen sind nicht sehr groß, aber merklich.

Weil die Gläser unterschiedliche Inhaltsmengen haben. Das ist aber nicht mit deinem ersten Beispiel mit dem Wahlergebnis vergleichbar.