Mathematische Kuriositäten

[kotzfisch]

Eine krasse Geschichte ist der —>[Links nur für registrierte Nutzer] Umordnungssatz. Hat man eine bedingt konvergente Reihe, kann man die Summenglieder umordnen, so dass jede (!) beliebige (!!) Zahl rauskommt.

formal: Ist eine bedingt konvergente Reihe reeller Zahlen, dann existiert zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Zahl eine Umordnung der Reihenglieder , so dass die umgeordnete Reihe gegen konvergiert.

Das hast Du schön von Wikipedia kopiert, um so zu tun, als wüßtest Du, worum es dabei geht.Der volle Fake.

[kotzfisch]

Ich will zwei Ziegen!

[Differentialgeometer]

Das hast Du schön von Wikipedia kopiert, um so zu tun, als wüßtest Du, worum es dabei geht.Der volle Fake.

?! Wie vorne bereits erwähnt: solange das Forum kein TeX zulässt, ist das einfacher als mir selbst einen mit den Formeln abzubrechen....

[John Donne]

Nein, du vernachlässigst, dass der Moderator immer drei Tore sieht, und seine Optionen bei der Wahl des "Ziegentores" von der Wahl des ersten Tores des Spielers abhängen. Gehe einfach mal alle Optionen aus der Sicht des Moderators durch, und vergleiche die Anzahl der möglichen Kombinationen, je nachdem ob der Spieler beim ersten Tor Auto/Ziege gewählt hat.

Exakt so ist das.
Man verliert beim Wechsel ja nur dann, wenn man anfangs die richtige Tür erraten hatte, was bei drei Türen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:2 (also 1/3) der Fall ist. Bei 1.000.000 Türen ist das ebenso. Nur die Wahrscheinlichkeit, anfang richtig Tür zu erraten, liegt bei 1:999.999 (also 1/1000.000), man gewinnt beim Wechsel also mit 99,9999% Wahrscheinlichkeit.

Verallgemeinert auf n (mit n >= 3) Türen öffnet der Moderator nach Regeln n-2 Ziegentüren (und nicht die ursprünglich gewählte Tür und nicht die Tür, hinter der sich der Hauptgewinn verbirgt). Diese beiden ausgeschlossenen Türen (Hauptgewinn, ursprünglich gewählte Tür) sind nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/n identisch. Mit einer Wahrscheinlichkeit von (n-1)/n öffnet der Moderator alle verbliebenen Ziegentüren.

[Stanley_Beamish]

Exakt so ist das.
Man verliert beim Wechsel ja nur dann, wenn man anfangs die richtige Tür erraten hatte, was bei drei Türen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:2 (also 1/3) der Fall ist. Bei 1.000.000 Türen ist das ebenso. Nur die Wahrscheinlichkeit, anfang richtig Tür zu erraten, liegt bei 1:999.999 (also 1/1000.000), man gewinnt beim Wechsel also mit 99,9999% Wahrscheinlichkeit.

Verallgemeinert auf n (mit n >= 3) Türen öffnet der Moderator nach Regeln n-2 Ziegentüren (und nicht die ursprünglich gewählte Tür und nicht die Tür, hinter der sich der Hauptgewinn verbirgt). Diese beiden ausgeschlossenen Türen (Hauptgewinn, ursprünglich gewählte Tür) sind nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/n identisch. Mit einer Wahrscheinlichkeit von (n-1)/n öffnet der Moderator alle verbliebenen Ziegentüren.

Aber er öffnet das Tor 3 mit der Ziege ja auch dann, wenn das Auto nicht in Tor 1 ist, sondern in Tor 2.

[Querfront]

Wenn euch das Ziegenproblem gefallen hat, dann gefällt euch das hier sicher auch. Es ist der dreifache Münzwurf, den man auch schön als Kneipen- oder Partywette durchführen kann.

Benötigt werden zwei Spieler und eine Münze. Es geht darum, wer zuerst eine Serie von drei Münzwürfen(Kopf/Zahl) trifft, z.B. Kopf, Zahl, Kopf. Es wird so lange geworfen, bis einer der Spieler seine Kombination trifft. Damit nicht beide die gleiche Kombination wählen, gibt einer der Spieler, nennen wir ihn Spieler 1 seine gewählte Kombination bekannt. Danach wählt Spieler 2 seine Kombination aus. Ich behaupte nun, dass Spieler 2 einen Vorteil hat, weil nicht alle Kombinationen im direkten Aufeinandertreffen gleichwertig sind. Das erscheint seltsam, weil doch die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu treffen gleich ist, 50% oder als Bruch geschrieben 1/2. Beim dreifachen Münzwurf sollte man erwarten, das die Wahrscheinlichkeit für jede Dreierkombination 12,5% oder 1/8 ist, weil es ja 8 Möglichkeiten gibt.

Kopf Kopf Kopf
Zahl Zahl Zahl
Kopf Zahl Kopf
Kopf Kopf Zahl
Zahl Zahl Kopf
Zahl Kopf Zahl
Zahl Kopf Kopf
Kopf Zahl Zahl

Das verblüffende ist, dass diese Kombinationen im direkten Aufeinandertreffen nicht gleichwertig sind. Es gibt zu jeder dieser Kombinationen eine, die Spieler 2 einen Vorteil beschert und seine Gewinnwahscheinlichkeit auf 2/3 bis im besten Fall 7/8 erhöht. Das widerspricht völlig der Erwartung.

Ich zweige mal das Extrembeispiel, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 2 bei 7/8 liegt. Das ist der Fall, wenn Spieler 1 eine der beiden gleichartigen Kombinationen aufwählt, z.B.

Kopf Kopf Kopf

diese kann man mit

Zahl Kopf Kopf

brutal ausknocken

Zum Glück kann man sich diesem Phänomen mit Brutforcen annähern. Das macht auch mehr Spaß, als DG's reinkopierte Formeln.

[Trantor]

Anders: die Natur ist ein Spezialfall, die Mathematik ist ja auf alles vorbereitet

nun ich glaube die Natur ist der Maßstab, und die Realität.....denke ich....nun zumindest ist sie es die Relevanz für uns hat denn nur sie können wir tatsächlich erleben und erfahren.

[Trantor]

.. wenn das so wäre , dürfte kein Satellit , keine Rakete , keine Sonde oder sonstiges im All ihr Zeil finden und dort landen ..

nein, diese Schlussfolgerung ist aus meiner Aussage nicht ableitbar.

[Trantor]

In der realen Welt gibt es nach allem, was wir wissen, kein Kontinuum, keine Unendlichkeit. Zeit, Raum etc. bestehen aus kleinsten Einheiten, die sich sinnvoll nicht weiter unterteilen lassen (Planckzeit, Plancklänge). Das ist in der Mathematik anders.
Einige Mathematiker lehnen das beim Beweis von Banach-Tarski verwendete Auswahlaxiom ab.
Aber kurz gesagt, hast Du recht.

ja genau in der Form dachte ich das auch.

[KatII]

Wenn euch das Ziegenproblem gefallen hat, dann gefällt euch das hier sicher auch. Es ist der dreifache Münzwurf, den man auch schön als Kneipen- oder Partywette durchführen kann.

Benötigt werden zwei Spieler und eine Münze. Es geht darum, wer zuerst eine Serie von drei Münzwürfen(Kopf/Zahl) trifft, z.B. Kopf, Zahl, Kopf. Es wird so lange geworfen, bis einer der Spieler seine Kombination trifft. Damit nicht beide die gleiche Kombination wählen, gibt einer der Spieler, nennen wir ihn Spieler 1 seine gewählte Kombination bekannt. Danach wählt Spieler 2 seine Kombination aus. Ich behaupte nun, dass Spieler 2 einen Vorteil hat, weil nicht alle Kombinationen im direkten Aufeinandertreffen gleichwertig sind. Das erscheint seltsam, weil doch die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu treffen gleich ist, 50% oder als Bruch geschrieben 1/2. Beim dreifachen Münzwurf sollte man erwarten, das die Wahrscheinlichkeit für jede Dreierkombination 12,5% oder 1/8 ist, weil es ja 8 Möglichkeiten gibt.

Kopf Kopf Kopf
Zahl Zahl Zahl
Kopf Zahl Kopf
Kopf Kopf Zahl
Zahl Zahl Kopf
Zahl Kopf Zahl
Zahl Kopf Kopf
Kopf Zahl Zahl

Das verblüffende ist, dass diese Kombinationen im direkten Aufeinandertreffen nicht gleichwertig sind. Es gibt zu jeder dieser Kombinationen eine, die Spieler 2 einen Vorteil beschert und seine Gewinnwahscheinlichkeit auf 2/3 bis im besten Fall 7/8 erhöht. Das widerspricht völlig der Erwartung.

Ich zweige mal das Extrembeispiel, bei dem die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 2 bei 7/8 liegt. Das ist der Fall, wenn Spieler 1 eine der beiden gleichartigen Kombinationen aufwählt, z.B.

Kopf Kopf Kopf

diese kann man mit

Zahl Kopf Kopf

brutal ausknocken

Zum Glück kann man sich diesem Phänomen mit Brutforcen annähern. Das macht auch mehr Spaß, als DG's reinkopierte Formeln.

Das glaube ich nicht. Beide haben die gleiche Chance. 1/2*1/2*1/2

Es sei denn, die Reihenfolge spielt keine Rolle.