Existiert eine schnellere Alternative zur Quotientenregel?

[Frei-denker]

Bei uns im Mathe-Unterricht haben wir grad die Quotientenregel der Differentialrechnung durchgenommen.

Mit dieser Regel einen größeren Funktionsterm auszurechnen wird da mitunter eine fast seitenfüllende Rechnung. Das ist unbefriedigend.

Aus dem Gefühl heraus möchte ich da schon fast behaupten, dass es einen schnelleren und leichteren Weg geben muß, vom Funktionsterm direkt auf die 1. Ableitung schließen zu können.

Bevor ich mich jetzt ans austüfteln eines solchen Weges mache, möchte ich vorab fragen, welche Alternativen denn bereits "auf dem Markt" sind bzw. was in der Fachwelt als optimaler Lösungsweg angesehen wird.

Was ist die schnellere und effizientere Alternative?

[politisch Verfolgter]

Viell. mal diese Regel beweisen oder ableiten, womit einem evtl. was Besseres einfällt, weil man damit dahinter zu blicken lernt.
Unter "Quotientenregel" verstehe ich die inzwischen allseits bekannte Korrelationseffizienz ;-)

[Don]

Bei uns im Mathe-Unterricht haben wir grad die Quotientenregel der Differentialrechnung durchgenommen.

Mit dieser Regel einen größeren Funktionsterm auszurechnen wird da mitunter eine fast seitenfüllende Rechnung. Das ist unbefriedigend.

Aus dem Gefühl heraus möchte ich da schon fast behaupten, dass es einen schnelleren und leichteren Weg geben muß, vom Funktionsterm direkt auf die 1. Ableitung schließen zu können.

Bevor ich mich jetzt ans austüfteln eines solchen Weges mache, möchte ich vorab fragen, welche Alternativen denn bereits "auf dem Markt" sind bzw. was in der Fachwelt als optimaler Lösungsweg angesehen wird.

Was ist die schnellere und effizientere Alternative?

Die Lösung vom Banknachbarn abschreiben.
Es gibt auch effiziente Programme, z.B. Mathcad. Gibts für kleines Geld in Studiversion oder ebay. :D

Natürlich existieren bestimmte Funktionen die sich simpel ableiten lassen, aber das sind wie immer im Leben nur Spezialfälle.
Was Du lernst oder lernen sollst ist die allgemein und immer gültige Vorgehensweise die zum Verständnis unabdingbar ist.
Ein paar auswendig gelernte Tricks für Einzelanwendungen lassen Dich in Prüfungen in aller Regel äußerst alt aussehen.
(Und darum ging es Dir doch, oder?)

Es ist dasselbe wie z.B. in der Trigonometrie. Der Satz des Pythagoras,
a² + b² = c² ist lediglich der eine Spezialfall, und zwar des Cosinussatzes der für ALLE Dreiecke gilt nicht nur für rechtwinklige, und der naturgemäß etwas schwieriger zu verstehen ist.

[MorganLeFay]

Ich vermute, ein einfacherer Weg würde es Schülern/ Studenten einfacher machen und in der Folge die Korrektur- (und Erklär-)arbeit der Lehrenden vermindern.

Wenn es einen gäbe, würde er somit wohl unterrichtet werden.

[Frei-denker]

Ich vermute, ein einfacherer Weg würde es Schülern/ Studenten einfacher machen und in der Folge die Korrektur- (und Erklär-)arbeit der Lehrenden vermindern.

Wenn es einen gäbe, würde er somit wohl unterrichtet werden.

Hört sich so an, als gäbe es keinen Alternativ-Weg.

Da bin ich jetzt ein wenig ungläubig.

Und das aus folgender Überlegung heraus:

Angenommen, man nimmt die "Standartfunktion" f(x) = x.
Dann ist bekanntlich die Ableitung f´(x) = 1.

Wenn man nun hingeht und diese Funktion durch x, x² oder sonstwas teilt, ändert sich die Ableitung gemäß einer - ich nenn es mal Gesestzmäßigkeit.

Würde man nun austüfteln, gemäß welcher Gesetzmäßigkeiten sich die diversen Teiler auf die Ableitung auswirken, so vermute ich, dass man dann auch mit diesem Gesetz direkt von einem Quotienten beliebiger Größe auf die Ableitung schließen kann - ohne Quotientenregel.

[MorganLeFay]

Das "Austüfteln" tut ja gerade die Quotientenregel. Dein Ansatz hört sich für mich nciht einfacher, sondern komplizierter an.

[Frei-denker]

Das "Austüfteln" tut ja gerade die Quotientenregel. Dein Ansatz hört sich für mich nciht einfacher, sondern komplizierter an.

Die Quotientenregel läuft sicher auch dieser Gesetzmäßigkeit hinterher - nur in meinen Augen auf recht aufwendige Weise.

Sollte meine Vermutung zutreffen, so wäre die von mir skizzierte Variante komplizierter Herzuleiten - jedoch bedeutend schneller in der Anwendung.

[Aldebaran]

Hört sich so an, als gäbe es keinen Alternativ-Weg.

Da bin ich jetzt ein wenig ungläubig.

Und das aus folgender Überlegung heraus:

Angenommen, man nimmt die "Standartfunktion" f(x) = x.
Dann ist bekanntlich die Ableitung f´(x) = 1.

Wenn man nun hingeht und diese Funktion durch x, x² oder sonstwas teilt, ändert sich die Ableitung gemäß einer - ich nenn es mal Gesestzmäßigkeit.

Würde man nun austüfteln, gemäß welcher Gesetzmäßigkeiten sich die diversen Teiler auf die Ableitung auswirken, so vermute ich, dass man dann auch mit diesem Gesetz direkt von einem Quotienten beliebiger Größe auf die Ableitung schließen kann - ohne Quotientenregel.


Vor der Anwendung der Quotientenregel sollte man natürlich schon den Term so weit wie möglich vereinfachen.

x/x³ nach der Quotientenregel abzuleiten, wäre nicht die intelligenteste Lösung.

Selbstverständlich würde man daraus 1/x² = x^-2 machen und nach der Potenzregel ableiten.

Sonst aber gibt es keine Möglichkeit, die Regel "einzusparen".

Die Quotientenregel ist ja nichts anderes als Produkt- und Kettenregel plus Erweiterung, um auf einen Bruchstrich zu kommen. Das sind elementare Regeln bzw. Operationen.

[Frei-denker]

x² als Teiler von x war ja auch nur ein Beispiel.

Wie gesagt fehlt mir aber der Glaube, dass ein Bruch nicht auch auf anderem Weg als über die Quotientenregel ableitbar wäre.

Werde mir wohl die Mühe machen müssen, selber nach einer Alternative zu forschen.

[politisch Verfolgter]

Alles ist hinlänglich geregelt - mehr muß man nicht wissen, hahaha ;-)
Das macht die Penne zur heilen Welt ;-)

[Aldebaran]

x² als Teiler von x war ja auch nur ein Beispiel.

Wie gesagt fehlt mir aber der Glaube, dass ein Bruch nicht auch auf anderem Weg als über die Quotientenregel ableitbar wäre.

Werde mir wohl die Mühe machen müssen, selber nach einer Alternative zu forschen.


Wie gesagt: Die Regel an sich ist nicht elementar, sondern nur eine Merkregel, um die drei Operationen (Produktregel, Kettenregel und Erweiterung) in einem Abwasch zu formulieren.

Ich kann mir wirklich nicht vorstellen, dass in der Schulmathematik Überraschungen möglich sind, aber wie heißt es so schön: Der Weg ist das Ziel und in diesem Fall kann der Weg sogar einen gewissen Übungseffekt haben.

[Aldebaran]

Alles ist hinlänglich geregelt - mehr muß man nicht wissen, hahaha ;-)
Das macht die Penne zur heilen Welt ;-)

Wo gibt's das sonst noch?

[politisch Verfolgter]

Die Arbeitsgesetzgebung ist eine einzige Einschränkungszuweisung zu Gunsten von Inhaber/Statthalter-Herrschaftsansprüchen - schlimmer noch als jede Penne.
Damit werden politisch Verfolgte zum Kostenfaktor ihrer Kapitalerwirtschaftung marginalisiert, auf minderwertige Teilleistungen reduziert und als Kanonenfutter gegeneinander gehetzt.
Auf dieses Sozialstaatsprinzip will Schule einschwören, darauf hin will die Penne abrichten, bis hin zum Ing.-Studium.
Doch menschl. Inhaber sind zu teuer, zu ineffizient, nicht vernetzbar, nicht investiv nutzbar, Korrelationseffizienz ("Quotientenregel" ;-)) und Leistungsäquivalenz werden damit massiv behindert.
Das spricht nicht mal gegen Inhaber und deren Interessen, sondern gegen verbrecherische Gesetzgeber, die einen schlicht nicht zum Inhaberinstrument deklarieren dürfen.
Per Sozialstaat läßt das Regime den modernen Feudalismus von seinen Opfern zwangsfinanzieren.
Der Wahnsinn ist abzustellen, die "Quotientenregel" muß her.

[tommy3333]

Da hat Aldebaran schon recht. Die Quotientenregel ist eine abgeleitete Regel. Sie noch weiter zu vereinfachen, wird kaum möglich sein - die einzigste Ausnahme ist, dass bei einem Quotienten f(x)/g(x) die beiden Funktionen f und g so beschaffen sind, dass sich der Quotient in geeigneter Weise äquivalent umformen lässt.

Bsp 1:

f(x) = x+1
g(x) = x-1

f(x)/g(x) = (x+1)/(x-1) = (x-1 + 2)/(x-1) = 1 + 2/(x-1) = 1 + 2*(x-1)^(-1)
unter Anwendung der Potenzregel folgt dann
d(f(x)/g(x)) / dx = 2*(-1)*(x-1)^(-2) = -2/(x-1)²

Bsp. 2:

f(x) = sin²(x)
g(x) = cos²(x)

f(x)/g(x) = sin²(x) / cos²(x) = (1 - cos²(x)) / cos²(x) = 1/cos²(x) - 1
ab hier dann weiter mit Potenzregel und Kettenregel
d(f(x)/g(x)) = (-2) * 1/cos³(x) * (-sin(x)) = 2 * sin(x) / cos³(x)

[Frei-denker]

Schade, da werde ich meine Hoffnung wohl begraben müssen.

Spaßeshalber werde ich dennoch mal versuchen, ob nicht irgendwas möglich ist.

Trotzdem Dankeschön schonmal für eure Tips!

[Aldebaran]

Bsp 1:

f(x) = x+1
g(x) = x-1

f(x)/g(x) = (x+1)/(x-1) = (x-1 + 2)/(x-1) = 1 + 2/(x-1) = 1 + 2*(x-1)^(-1)
unter Anwendung der Potenzregel folgt dann
d(f(x)/g(x)) / dx = 2*(-1)*(x-1)^(-2) = -2/(x-1)²

Bsp. 2:

f(x) = sin²(x)
g(x) = cos²(x)

f(x)/g(x) = sin²(x) / cos²(x) = (1 - cos²(x)) / cos²(x) = 1/cos²(x) - 1
ab hier dann weiter mit Potenzregel und Kettenregel
d(f(x)/g(x)) = (-2) * 1/cos³(x) * (-sin(x)) = 2 * sin(x) / cos³(x)


Die Beispiele sind gut. Leider fällt einem dergleichen nur ein, wenn man eine gewisse Übung darin hat.

[politisch Verfolgter]

Der google kotzt dazu Massen aus ;-)
Über grafikfreie transparente CSS-Schatten aber rein gar nix, shit.
Neuland reizt einen, das man am Monitor gleich angucken kann - wenn man schon nix tun darf. Hätte nie gedacht, daß alles für die Katz' ist, das Rumgesitze in Schulklassen und Hörsälen. Das Konservatorium war nur zum Spaß gedacht. Hoffentlich kommt Mr. Spock zu mehr.