Vollständige Version anzeigen : Der Durschnittswert einer quadratischen Funktion über ein Intervall
Frei-denker
15.02.2008, 08:40
In meiner Abendschule hatten wir im Physikunterricht das Thema der Streckenberechnung einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.
Die Formel dafür lautete 1/2*a*t², wobei a die Steigung darstellt.
Die Herleitung besagte, dass der Graph der Geschwindigkeit V ein linearer Graph ist, und die somit die Fläche unter dem Graph die Hälfte des Quadrates at*t ist. Daher das 1/2 in der Formel.
Nebenbei fand ich heraus, dass sich diese Strecke ebenfalls aus Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit berechnen läßt. Also Vd*t.
Nun fragte ich mich, wie denn nun die Strecke einer Bewegung zu berechnen sei, die nicht gleichförmig beschleunigt wird, sondern deren Beschleunigung mit der Zeit zunimmt, also die Geschwindigkeit z.B. einer quadratischen Funktion v=t² folgt. Mir ist natürlich bekannt, dass man die Fläche unter einem krummen Graphen gewöhnlich mit der Integralrechnung berechnet.
Da mir die Integralrechnung momentan aber im Wesentlichen unbekannt ist, fragte ich mich, ob man es nicht auch bei der Funktion t² eine Zahl geben müßte, welche die Durchschnittsgeschwindigkeit darstellt, die man dann mit der Zeit multiplizieren kann, um die Fläche unter der Randfunktion zu berechnen.
Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.
Sie kann berechnet werden mit:
Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1
für alle f(x)=x^n.
Die Strecke wäre demnach:
S= (V1+V2) *t / (n+1)
Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.
für alle f(x)=x^n.
Die Strecke wäre demnach:
S= (V1+V2) *t / (n+1)
Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.
Ihre Ableitung ist "fast" richtig. Die Fläche unter einer Potenzfunktionen der Art f(x)=x^n errechent sich nach folgender Formel:
http://www.capcode.de/images/img_pictures/Potenzregel.jpg
Frei-denker
15.02.2008, 12:32
Sieht so aus, als hättest du recht.
Offenbar muß ich die Formel für Strecke korrigieren und den Faktor t herausnehmen.
Demnach wäre dann die Formel für Strecke:
S= (V1+V2)/ (n+1) für alle f(x)= x^n
Auch die Durchschnittsgeschwindigkeit müßte neu definiert werden.
Danke für den Hinweis. Werde mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen.
Sieht so aus, als hättest du recht.
Offenbar muß ich die Formel für Strecke korrigieren und den Faktor t herausnehmen.
Demnach wäre dann die Formel für Strecke:
S= (V1+V2)/ (n+1) für alle f(x)= x^n
Auch die Durchschnittsgeschwindigkeit müßte neu definiert werden.
Danke für den Hinweis. Werde mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen.
Warum wollen Sie t weglassen? Ist t vielleicht x^(n+1)? Die Ableitung ihrer erstaunlichen Formel hat mich wirklich beeindruckt.
tommy3333
15.02.2008, 17:38
Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.
Sie kann berechnet werden mit:
Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1
für alle f(x)=x^n.
Der Mittelwert einer Funktion ist hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Der_Mittelwert_einer_Funktion) definiert.
Für v = a * x^n hieße das
vd = 1/(x2 - x1) * a/(n+1) * (x2^(n+1) - x1^(n+1))
--> vd = 1/(x2 - x1) * 1/(n+1) * (v2*x2 - v1*x1)
Im Falle n=1 kann man anstelle des letzten Schritts auch die binom. Formeln ausnutzen: 1/(x2 - x1) * (x2² - x1²) = x2+ x1
In meiner Abendschule hatten wir im Physikunterricht das Thema der Streckenberechnung einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.
Die Formel dafür lautete 1/2*a*t², wobei a die Steigung darstellt.
Die Herleitung besagte, dass der Graph der Geschwindigkeit V ein linearer Graph ist, und die somit die Fläche unter dem Graph die Hälfte des Quadrates at*t ist. Daher das 1/2 in der Formel.
Nebenbei fand ich heraus, dass sich diese Strecke ebenfalls aus Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit berechnen läßt. Also Vd*t.
Nun fragte ich mich, wie denn nun die Strecke einer Bewegung zu berechnen sei, die nicht gleichförmig beschleunigt wird, sondern deren Beschleunigung mit der Zeit zunimmt, also die Geschwindigkeit z.B. einer quadratischen Funktion v=t² folgt. Mir ist natürlich bekannt, dass man die Fläche unter einem krummen Graphen gewöhnlich mit der Integralrechnung berechnet.
Da mir die Integralrechnung momentan aber im Wesentlichen unbekannt ist, fragte ich mich, ob man es nicht auch bei der Funktion t² eine Zahl geben müßte, welche die Durchschnittsgeschwindigkeit darstellt, die man dann mit der Zeit multiplizieren kann, um die Fläche unter der Randfunktion zu berechnen.
Lange Rede kurzer Sinn: Es gibt für offenbar für jede Potenzfunktion mit x^n und n ist Element von N eine solche Durchschnittszahl oder Durchschnittsgeschwindigkeit.
Sie kann berechnet werden mit:
Vd = (Anfangsgeschwindigkeit + Endgeschwindigkeit) / n+1
für alle f(x)=x^n.
Die Strecke wäre demnach:
S= (V1+V2) *t / (n+1)
Im Prinzip eine Alternative zur Integralrechnung.
Für solche Popelaufgaben brauchst du noch keine Infinitesimalrechnung.
Die kannst du mit reiner Potenzrechnung lösen.
Der Aufgabentyp entpricht dem Typus der
gleichförmig beschleunigten Bewegung -> a= Beschleunigung= const.
Du zeichnest drei Diagramme und kannst nach dem Eintragen der entsprechenden Werte die Gesetzmäßigkeiten (Formeln) sofort bestimmen.
1. s-t-Diagramm s=1/2* a * t^2 + S0
2. V-t-Diagramm V=a*t +V0
3. a-t-Diagramm a=const
Mit den entsprechenden Anfangswerten (V0, t0, S0), lassen sich alle möglichen Arten von Bewegungen, für die a= const gilt , vollkommen bestimmen.
Die Analysis->Vektoranalysis braucht man erst für komplexere Bewegungen, für die a != const gilt.
politisch Verfolgter
16.02.2008, 06:34
Weil ich grad den Newton sehe: er hat die geschwindigkeits- und beschleunigungsabhängige Massenänderung ignoriert, obwohl er sie bestimmt hingeschrieben hat, weil sie schon damals formal resultierte. Daß damit zusätzlich eine zeitl. Änderung erfolgt, hätte ihm dann seine Phantasie sagen können, wenn er eine maximal mögliche Geschwindigkeit eingeführt hätte.
Er hat sein Gleichungszeugs nicht konsequent genug in allen Variationsmöglichkeiten durchgespielt, war noch zu mittelalterlich geprägt, hat Randbedingungen ignoriert, statt sie auszuarbeiten - die passten nicht ins Weltbild. Kann allerdings sein, daß er nie auf die Idee kam, die Masse mal nach der Zeit abzuleiten und die rein formalen Konsequenzen durchzugehen.
Weil ich grad den Newton sehe: er hat die geschwindigkeits- und beschleunigungsabhängige Massenänderung ignoriert, obwohl er sie bestimmt hingeschrieben hat, weil sie schon damals formal resultierte. Daß damit zusätzlich eine zeitl. Änderung erfolgt, hätte ihm dann seine Phantasie sagen können, wenn er eine maximal mögliche Geschwindigkeit eingeführt hätte.
Er hat sein Gleichungszeugs nicht konsequent genug in allen Variationsmöglichkeiten durchgespielt, war noch zu mittelalterlich geprägt, hat Randbedingungen ignoriert, statt sie auszuarbeiten - die passten nicht ins Weltbild. Kann allerdings sein, daß er nie auf die Idee kam, die Masse mal nach der Zeit abzuleiten und die rein formalen Konsequenzen durchzugehen.
PV, du solltest nicht den Versuch machen, ein Jahrtausendgenie wie Isaac Newton zu kritisieren.
Die Kritik an einem Genie kann für den Kritiker schnell in einem intellektuellen Desaster enden.
Aber es freut mich, dass du einer der wenigen User bist, die Newton sofort erkannt haben.
Mein letztes Avatar, Nietzsche, kannte jeder, Newton so gut wie niemand.
Das zeichnet ein erschreckendes Bild der naturwissenschaftlichen Bildung der User dieses Forums.
Rheinlaender
16.02.2008, 08:37
Mein letztes Avatar, Nietzsche, kannte jeder, Newton so gut wie niemand.
Das zeichnet ein erschreckendes Bild der naturwissenschaftlichen Bildung der User dieses Forums.
... und von dem Wissen ueber Muenzen: Newton entwarf die Guinea und den Sovereign als Goldmuenzen (£1 und £1.1.0 - damals viel Geld) in einer Weise als Master of The Mint, dass man sie bei falscher Legierung am Klang des Hinfalles auf eine harte Flaeche zu erkennen kann, um Faelschung vorzubeugen.
Praetorianer
16.02.2008, 08:46
Darf ich mal fragen, was das unter "Wissenschaft" zu suchen hat?
Praetorianer
16.02.2008, 08:51
PV, du solltest nicht den Versuch machen, ein Jahrtausendgenie wie Isaac Newton zu kritisieren.
Die Kritik an einem Genie kann für den Kritiker schnell in einem intellektuellen Desaster enden.
Nicht, wenn man sich feige und fett mit seinen Donuts und seiner Cola vor den PC knallt und sich selbst dafür feiert, dass man selbst schonmal was von gelesen hat, wovon der Sir Isaac noch nichts wusste.
Darf ich mal fragen, was das unter "Wissenschaft" zu suchen hat?
Weil Newton der Begründer der Mechanik war.
Und Freidenker nunmal ein kinematisches Problem hatte.
Mechanik besteht nunmal aus der Statik, der Kinematik und der Dynamik
des Punktes, der Starren Körper, der Fluide.
Rheinlaender
16.02.2008, 08:54
Darf ich mal fragen, was das unter "Wissenschaft" zu suchen hat?
Sehr viel, weil Newton mit der erste in Europa war, der wissenschaftliche Methoden anwendete, um Muenzfaelschungen zu verhindern. Er bechaeftigte sich auch (hier erfolglos) mit besseren Methoden zum Testen von Edelmetalllegierungen (fuer die Arbeit einer Muenzstaette damals extrem wichtig).
Praetorianer
17.02.2008, 12:08
Weil Newton der Begründer der Mechanik war.
Und Freidenker nunmal ein kinematisches Problem hatte.
Mechanik besteht nunmal aus der Statik, der Kinematik und der Dynamik
des Punktes, der Starren Körper, der Fluide.
Ich meine nicht euer Zwiegespräch über Newton, sondern Freidenkers Thema, was hat das bitte mit Wissenschaft und/oder Ökologie zu tun?
Frei-denker
17.02.2008, 12:12
Ich meine nicht euer Zwiegespräch über Newton, sondern Freidenkers Thema, was hat das bitte mit Wissenschaft und/oder Ökologie zu tun?
Mathematik und Physik sind Naturwissenschaften. Daher ist m.E.n. ein Problem aus diesem Bereich hier richtig platziert.
--------
Was die Beiträge der Anderen anbetrifft, so beschäftige ich mich momentan damit und werde darauf in Kürze antworten.
Mathematik und Physik sind Naturwissenschaften. Daher ist m.E.n. ein Problem aus diesem Bereich hier richtig platziert.
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Was die Beiträge der Anderen anbetrifft, so beschäftige ich mich momentan damit und werde darauf in Kürze antworten.
Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft, weil die Theorien der Mathematik nichts aber auch gar nichts mit der Natur zu tun haben brauchen.
Früher wurde die Mathematik deshalb den Geisteswissenschaften zugeordnet.
Heute wird sie einer eigenen Kategorie zugeordnet: den Strukturwissenschaften.
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Strukturwissenschaften
politisch Verfolgter
17.02.2008, 14:14
Nicht, wenn man sich feige und fett mit seinen Donuts und seiner Cola vor den PC knallt und sich selbst dafür feiert, dass man selbst schonmal was von gelesen hat, wovon der Sir Isaac noch nichts wusste.
Bin nur faul und normalgewichtig, ohne Donuts und Cola, mit Seelachs und Kaffee.
Ich feiere nix, weils gar keinen Grund dafür gibt.
ET/NT kann man verstehen, wenn man die Mathematik in deren Formeln versteht.
Dazu braucht man dort nix zu lernen, außer mal elende DIN.
Felder, räuml. Ausbreitungsbedingungen und el.magn. Wellensalat sind in ein paar Förmelchen komprimiert, weswegen ich das Studium math. Ambitionierten nur empfehlen kann. Es ist was für Oberfaule, die nix lernen wollen. Da bin ich wirklich ehrlich, der ich nur zu 60 % dort präsent war. Der aus NT heraus digitalisierte IT-Anteil hat danach allerdings dominiert, was mir dann eine Klage von bis zu 170 TDM eingebracht hat, weil ich den Sourcecode angebl. nicht hinreichend kommentiert hatte. Der Gerichtssaal war proppevoll, bis auf den letzten Platz, wie zuvor abgezählt. In der Verhandlung gings nur darum, welche Codeteile ich angebl. nicht hinreichend kommentiert habe. Muß man sich mal vortstellen, wobei klar war, daß der Richter noch nie was programmiert hat. Er war denn auch völlig unbeholfen. Die Verhandlung hat so ne Stunde gedauert, das Urteil erging im Saal. Sowas muß man mal erlebt haben.
Wenns hier Viele langweilt, nehm ich den Beitrag wieder raus ;-)
mathematik is ne hilfswissenschaft.punkt.:D
politisch Verfolgter
17.02.2008, 14:30
Ja, ein Hiwi (Hilfswilliger) für Oberfaule ;-)
Bin nur faul und normalgewichtig, ohne Donuts und Cola, mit Seelachs und Kaffee.
Ich feiere nix, weils gar keinen Grund dafür gibt.
ET/NT kann man verstehen, wenn man die Mathematik in deren Formeln versteht.
Dazu braucht man dort nix zu lernen, außer mal elende DIN.
Felder, räuml. Ausbreitungsbedingungen und el.magn. Wellensalat sind in ein paar Förmelchen komprimiert, weswegen ich das Studium math. Ambitionierten nur empfehlen kann. Es ist was für Oberfaule, die nix lernen wollen. Da bin ich wirklich ehrlich, der ich nur zu 60 % dort präsent war. Der aus NT heraus digitalisierte IT-Anteil hat danach allerdings dominiert, was mir dann eine Klage von bis zu 170 TDM eingebracht hat, weil ich den Sourcecode angebl. nicht hinreichend kommentiert hatte. Der Gerichtssaal war proppevoll, bis auf den letzten Platz, wie zuvor abgezählt. In der Verhandlung gings nur darum, welche Codeteile ich angebl. nicht hinreichend kommentiert habe. Muß man sich mal vortstellen, wobei klar war, daß der Richter noch nie was programmiert hat. Er war denn auch völlig unbeholfen. Die Verhandlung hat so ne Stunde gedauert, das Urteil erging im Saal. Sowas muß man mal erlebt haben.
Wenns hier Viele langweilt, nehm ich den Beitrag wieder raus ;-)
PV, das du in deinem Leben ein schweres Trauma erlitten haben musst, habe ich schon immer vermutet.
politisch Verfolgter
17.02.2008, 15:39
Mehrere: als kleiner Junge ist meine Schwester kurz nach der Geburt verstorben, zum Berufseinstieg wurde mein Nachwuchs abgetrieben und in den Betrieben gings zu wie im Tollhaus. Andere verkraften den Anteil gesellschaftl. Zusammenhänge daran nicht, werden aggressiv oder gar kriminell, saufen, rauchen und nehmen Drogen, werden Psychos.
Ich hab an der Arbeitsbehörde mal einen auf Psycho gemacht, beim sog. "medizinischen Dienst". Doch diese Psycho war wirklich eine, mitleiderregend. 2mal hab ich mit ihr zusammengesessen, nachdem zuvor eine Medizinerin nach ebenfalls 2 Terminen feststellte: "Ich kann an Ihnen nichts feststellen."
Nach der Psycho kam ein Schreiben vom Amt, ich habe mich "zu schlecht verkauft".
Das hat einen Politologen dazu bewogen über mich von einem Privatdozenten und mehreren seiner wiss. Mitarbeiter ein Univ.-Gutachten bzgl. meiner psychomentalen Befindlichkeit in Auftrag zu geben. Dazu hatte ich mich bis auf die Unterwäsche zu entkleiden, Reflexe und Lidspaltöffnung wurden beurteilt, er hat mit meinem Einverständnis meine Kopfform abgetastet und mich gefragt, ob ich Stimmen höre, wofür er sich damit entschuldigte, das werde Jeder gefragt.
Da habense den Durchschnittswert meiner mentalen Funktion über ein ganztägiges Intervall ermittelt, womit ich fast beim Thema wäre ;-)
1700 DM hat das den Steuerzahler angebl. gekostet, es wurde mir vom med. Leiter eines sog. "Landersarbeitsamts" kopiert, vorgetragen und ausgehändigt.
Ach ja: einmal bekam ein Historiker einen Schreikrampf, hahaha ;-)
Er ging dabei raus und schimpfte draußen weiter.
Ich hab mal von einem Juden gehört, der aus Nordafrika nach Israel einwanderte und dort im Arbeitsamt vor Wut einen Schreibtisch zertrümmerte.
Später wurde er dort Arbeitsminister ;-)
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