Mathe-Abi...

[Gerd]

Hallo!

Ich hab Montag mein Mathe-Abi, und bin auf zwei Sachen gestossen, die ich nicht weiss bzw. bei denen ich mir unsicher bin:

1) Steigen und Fallen einer Funktion: Dazu haben wir immer die erste Ableitung berechnet und die dann gleich Null gesetzt. Nun weiss ich aber nicht mehr ob man die Ergebnisse in die Funktion einsetzen muss und dann schauen obs steigt oder fällt oder in die Ableitung einsetzt.

2) Kann man eine Hyperbel integrieren (also ich glaube es ist eine...). Sie sieht so aus: (4x-3)/(x²+1).

Wäre super cool wenn ihr mir behilflich sein könntet ;)

Danke im voraus!

[Stuttgart25]

zu Frage eins:

Die erste Ableitung setzt man nur dann gleich Null, wenn man prüfen will, ob es eine waagerechte Tangente gibt (das heißt ob es Maxima, Minima oder Wendepunkte gibt). Wenn du dagegen nur gucken willst ob die Funktion an einem bestimmten Punkt (x,y) steigt oder sinkt, dann setzt man den x Wert dieses Punktes in die erste Ableitung ein und bekommt einen Wert. Wenn der Wert positiv ist, dann steigt die Funktion an dem Punkt (x,y) und wenn der Wert negativ ist dann sinkt die Funktion an dem Punkt (x,y). Wenn der Wert der ersten Ableitung im Punkt (x,y) gleich null ist dann hast du eine waagerechte Tangente.

Beispiel: x^2 wird abgeleitet zu 2x

Wenn du nun x=3 einsetzt in die erste Abl, dann bekommst du eine pos Zahl (=6). Wenn du x=-3 einsetztst in die erste Abl, dann bekommst du eine negative Zahl (-6). Das heißt, daß du bei x=3 die positive Steigung 6 hast und bei x=-3 die negative Steigung 6. Somit steigt die Funktion bei x=3 und sinkt bei x=-3

(Sorry ich hatte eben einen Fehler. Habe ich jetzt berichtigt)

Wenn du den Standpunkt der waagerechten Tangenten (Maxima, Minima, Wendepunkte) prüfen willst, dann nimmst du die x-Werte bei denen die erste Ableitung gleich Null werden und setzt diese x-Werte in die normale Funktion ein. Dann erhälts du die y-Werte der waagerechten Tangenten und hast somit sowohl den x als auch den y-Wert des Punktes und hast den Punkt eindeutig bestimmt.
Um zu prüfen ob es sich um ein Maximum, Minimum oder Wendepunkt (oder Sattelpunkt) handelt, musst du die 2. Ableitung bilden und prüfen ob das Ergebnis der 2. Ableitung (wenn du die x-Werte, für die du die waagrechten Tangenten bekommen hattest, in die 2. Ableitungsfunktion einsetzst) positiv, negativ oder Null ist. Wenn sie pos ist, dann hast du ein Minimum, wenn sie neg ist ein Maximum und bei 0 einen Wendepunkt.

Viel Glück bei der Prüfung

[erwin r analyst]

zu Frage eins:

Die erste Ableitung setzt man nur dann gleich Null, wenn man prüfen will, ob es eine waagerechte Tangente gibt (das heißt ob es Maxima, Minima oder Wendepunkte gibt). Wenn du dagegen nur gucken willst ob die Funktion an einem bestimmten Punkt (x,y) steigt oder sinkt, dann setzt man den x Wert dieses Punktes in die erste Ableitung ein und bekommt einen Wert. Wenn der Wert positiv ist, dann steigt die Funktion an dem Punkt (x,y) und wenn der Wert negativ ist dann sinkt die Funktion an dem Punkt (x,y). Wenn der Wert der ersten Ableitung im Punkt (x,y) gleich null ist dann hast du eine waagerechte Tangente.


Irgendwie habe ich ne waagrechte Tangente aber anders in Erinnerung. Bei gebrochenrationalen Funktionen muss man schauen, ob
1. Nennergrad größer Zählergrad ist ---> waagr. As y=0
2. Nennergrad=Zählergr ---> y=a/b (anders ausgedrückt: Bsp: x^2 + 1/x^2 +12345 ---> waagr. As ist y=1, da x^2:x^2=1)
3. Nennergrad um eins größer als Zählergrad ---> schiefe Asymptote (Polynomdivision)
4. Zählergrad größer als Nennergrad + 1 ---> keine As


Beispiel: x^3 wird abgeleitet zu 3x


Nein. Das ergibt 3x^2

[Stuttgart25]

Nein. Das ergibt 3x^2

Mist du hast Recht. Schon lange her, daß ich Höhere Mathematik im Vordiplom geschrieben habe. Habe ich oben berichtigt.

[Stuttgart25]

Irgendwie habe ich ne waagrechte Tangente aber anders in Erinnerung. Bei gebrochenrationalen Funktionen muss man schauen, ob
1. Nennergrad größer Zählergrad ist ---> waagr. As y=0
2. Nennergrad=Zählergr ---> y=a/b (anders ausgedrückt: Bsp: x^2 + 1/x^2 +12345 ---> waagr. As ist y=1, da x^2:x^2=1)
3. Nennergrad um eins größer als Zählergrad ---> schiefe Asymptote (Polynomdivision)
4. Zählergrad größer als Nennergrad + 1 ---> keine As


Meine Aussage über die waagrechten Tangenten ist aber dennoch richtig.

[erwin r analyst]

Hallo!

Ich hab Montag mein Mathe-Abi, und bin auf zwei Sachen gestossen, die ich nicht weiss bzw. bei denen ich mir unsicher bin:

1) Steigen und Fallen einer Funktion: Dazu haben wir immer die erste Ableitung berechnet und die dann gleich Null gesetzt. Nun weiss ich aber nicht mehr ob man die Ergebnisse in die Funktion einsetzen muss und dann schauen obs steigt oder fällt oder in die Ableitung einsetzt.

2) Kann man eine Hyperbel integrieren (also ich glaube es ist eine...). Sie sieht so aus: (4x-3)/(x²+1).

Wäre super cool wenn ihr mir behilflich sein könntet ;)

Danke im voraus!

1) Du nimmst den Wert der Stelle, an der du wissen willst, ob sie steigt oder fällt. Dann setzst du ihn in die 1. Ableitung ein. Wenn der Wert kleiner als null ist, dann fällt sie dort, wenn er größer ist, steigt sie dort.

2) Die waagr. As ist y=0. In meinem GTR kann ich es integrieren, aber die untere Grenze müsste frei gewählt werden, da es ja die x-Achse nie kreuzt.

[Blaumann]

Meine Aussage über die waagrechten Tangenten ist aber dennoch richtig.

Ja. Die Ableitungsfunktion ist die Funktion der Steigung/Veränderung. SIe gibt für jeden Punkt die Steigung der Kurve an. Das Vorzeichen gibt sozusagen die Richtung der Veränderung an.

[Wahabiten Fan]

Meine Aussage über die waagrechten Tangenten ist aber dennoch richtig.

Nicht verzagen, Imam fragen!:cool2:

[Stuttgart25]

Nicht verzagen, Imam fragen!:cool2:

Eigenlob stinkt aber ich habe Höhere Mathematik 1 bis 3 mit guten Noten bestanden. Luft- und Raumfahrtingenieure müssen sich halt auskennen. Ich weiß ich weiß ich sollte nicht ständig darüber reden.

[Reichsadler]

Mist du hast Recht. Schon lange her, daß ich Höhere Mathematik im Vordiplom geschrieben habe. Habe ich oben berichtigt.

Das ist keine höhere Mathematik, das ist Kindergarten.

[Stuttgart25]

Das ist keine höhere Mathematik, das ist Kindergarten.

Allerdings.

[Hexenhammer]

Das ist keine höhere Mathematik, das ist Kindergarten.Das ist wohl kein Kindergarten. Wie es scheint bekommen die jungen Leute heutzutage solche Aufgaben bei der Abitur-Prüfung. Sieht schwer nach PISA-Manipulation aus...

[Reichsadler]

Und an den Strangersteller, wieso schaust du nicht einfach mal im Hefter nach? Soweit ich mich erinnere, kommen in der Prüfung nur Sachen dran, die auch behandelt wurden.

[Gerd]

Vielen Dank an alle die hier weitergeholfen haben, ich hoffe es wird alles gut gehen.

Und wenn ich eine solche Frage hier poste, ist es weil es mir in meinem Hefter nicht klar erschien...

[stummer]

Hallo-

zu 2) habe ich noch etwas zum möglichen Nachvollziehen der hier gemachten Aussagen anhand des Beispiels.

Mit freundlichen Grüßen

stummer

[Stuttgart25]

Und an den Strangersteller, wieso schaust du nicht einfach mal im Hefter nach? Soweit ich mich erinnere, kommen in der Prüfung nur Sachen dran, die auch behandelt wurden.

Du bist aber sehr hilfsbereit. Ich denke er weiß auch, daß er ein Buch und ein Heft hat.

[Stuttgart25]

Vielen Dank an alle die hier weitergeholfen haben, ich hoffe es wird alles gut gehen.

Und wenn ich eine solche Frage hier poste, ist es weil es mir in meinem Hefter nicht klar erschien...

Kein Problem. Wenn du Fragen hast dann schicke sie.

[John Donne]

Hallo,

1) Hier haben meine Vorredner m.E. schon alles gesagt.


2) Ich gehe davon an, daß Du fragst, ob die Funktion f mit d er Zuorndnungsvorschrift f(x) = (4x-3)/(x²+1) integrierbar ist.
Zunächst: Die dazugehörige Kurve ist definitiv keine Hyperbel.
Aber ja, sie ist integrierbar. Insbesondere ist jede stetige Funktion integrierbar (Riemann-integrierbar). Da für alle x aus R gilt x² + 1 > 0, ist die Funktion auf ganz R definiert. Sie ist als Quotient zweier auf ganz stetiger Funktionen wegen x² + 1 > 0 auch auf ganz R stetig und damit in jedem Fall integrierbar.
Vermutlich möchtest Du auch eine Stammfunktion wissen. (Merke: die Aussagen "Funktion f ist integrierbar" und "es existiert zur Funktion f eine algebraische Stammfunktion" sind verschieden(!). Es gibt Funktionen (z.B. e^(0.5 x²)), die integrierbar sind, zu denen man jedoch keine Stammfunktion angeben kann.)

Ich benutze in dem folgenden Text einfach das S als Integrationszeichen:

S (4x-3)/(x²+1) dx

= S (4x)/(x²+1) dx - 3 S 1/(x²+1) dx

= 2 S (2x)/(x²+1) dx - 3 S 1/(x²+1) dx

= 2 ln |x²+1| - 3 arctan x

Wenn man die Funktion F mit F(x) = 2 ln |x²+1| - 3 arctan x ableitet, erhält man

2 * 1 /(x²+1) * 2x - 3/(x²+1) = 4x/(x²+1) - 3/(x²+1) = (4x-3)/(x²+1).
Damit ist F eine Stammfunktion zu f.
Allgemein ist Differentation sehr schematisch und einfach, Integration eher eine Kunst mit zahlreichen verschiedenen Methoden...

Grüße
John