Fieser Test

[Manfred_g]

Ein Problem, das viele von euch vermutlich kennen aber evtl. nicht alle ist das sog. "Ziegenproblem". Es ist auch unter anderen Namen bekannt und hat schon viele versierte Zeitgenossen genarrt (mich auch). Ich persönlich finde es heute noch verwirrend, obwohl ich die Lösung längst kenne.

Eigentlich geht es darum, daß mit Hilfe mathematischer Grundlagen Logik die Antwort recht leicht zu finden ist. Man glaubt aber, es auch mit gesundem Menschenverstand zu schaffen und fällt (oft) auf die Nase.

Das Problem:

Ein Showmaster zeigt einem Kandidaten drei verschlossenen Türen und erklärt ihm, daß sich hinter einer der Türen der Preis befindet, hinter den beiden anderen Türen aber Nieten (Ziegen, daher der Name).
Der Kandidat soll nun eine der drei Türen wählen. (Die sind zu, er muß also raten) Sobald das geschehen ist, öffnet der Showmaster einer der beiden verbliebenen Türen die eine Niete (Ziege) enthält, zeigt sie dem Kandidaten und erlaubt diesem seine getroffene Wahl nochmal zu überdenken.
Die Frage ist nun: macht es für den Kandidaten Sinn, die Türe nochmal zu wechseln?

---------

Das Problem ist nicht neu, also Lösungsvorschläge dürfen gepostet werden, aber bitte nur eigene, keine aus anderen Quellen bitte. Die Umfrage ist anonym.

[Dagobert Duck]

Bei der ersten Wahl hat er mit 1/3-Wahrscheinlichkeit den Preis.
Wenn der noch einmal wählt, bekommt er bei diesem Drittel die Niete zugewiesen. Aber bei der 2/3-Wahrscheinlichkeit am Anfang eine Niete gezogen zu haben, bekommt er bei einer Neuwahl zu 100% den Gewinn, da der Showmaster auch eine Niete wählt.

Daher:
nur eine Wahl: 1/3 Gewinnwahr.
Neuwahl: 2/3 Gewinnwahr.

[Leo Navis]

Er hat anfangs drei Möglichkeiten, also eine Gewinnchance von einem Drittel.

Nun fällt ein Drittel weg, also ist die Gewinnchance bei seiner Tür nicht mehr ein Drittel sondern ein Halb. Bei beiden vebliebenen Türen.

Daher macht es keinerlei Sinn, neu zu wählen, oder anders: Es ist egal, was er danach wählt, ob er neuwählt oder nicht, weil bei beiden Türen die Chance 1:2 steht.

[Biskra]

Daher:
nur eine Wahl: 1/3 Gewinnwahr.
Neuwahl: 2/3 Gewinnwahr.

Bei Neuwahl 50 % Gewinnwahrscheinlichkeit. Bleibt er bei seiner ersten Wahl, bleibt es bei 1/3. Also wechseln.

[Irratio]

Ich habe letztens versucht, dass durchzurechnen - ich komme auch auf die 2/3, wenn man wechselt, kenne aber auch die Behauptungen, dass es anders sei...

Naja, ich würde wechseln - die Wahrscheinlichkeit wird sich zumindest nicht verschlechtern.

Irratio.

[Leo Navis]

Bei Neuwahl 50 % Gewinnwahrscheinlichkeit. Bleibt er bei seiner ersten Wahl, bleibt es bei 1/3. Also wechseln.
Warum sollte man, bleibt man bei der ersten Wahl, nur 1/3 Gewinnchance haben?

[Biskra]

Warum sollte man, bleibt man bei der ersten Wahl, nur 1/3 Gewinnchance haben?

Beim ersten Versuch 2 Nieten, 1 Gewinn, macht 1/3 Wahrscheinlichkeit, daß ein Gewinn gezogen wurde, daran ändert sich gar nichts, wenn die andere Niete angezeigt wird. Wählst du jetzt aber die andere Tür, dann hast du 50 % Trefferwahrscheinlichkeit.

[klartext]

Vergleiche mit dem Roulett. Setzte 1.,2.,oder 3. Drittel. ist es wie mit den drei Türen. Setzt du auf Farbe oder auf gerade/ungerade Zahlen, ist es wie mit zwei Türen.
Wo die besseren Gewinnchancen liegen, scheint also klar zu sein.

[Leo Navis]

Beim ersten Versuch 2 Nieten, 1 Gewinn, macht 1/3 Wahrscheinlichkeit, daß ein Gewinn gezogen wurde, daran ändert sich gar nichts, wenn die andere Niete angezeigt wird. Wählst du jetzt aber die andere Tür, dann hast du 50 % Trefferwahrscheinlichkeit.
Oha. Und wo sind die anderen 50 %?

[Luzifers Freund]

Ein Problem, das viele von euch vermutlich kennen aber evtl. nicht alle ist das sog. "Ziegenproblem". Es ist auch unter anderen Namen bekannt und hat schon viele versierte Zeitgenossen genarrt (mich auch). Ich persönlich finde es heute noch verwirrend, obwohl ich die Lösung längst kenne.

Eigentlich geht es darum, daß mit Hilfe mathematischer Grundlagen Logik die Antwort recht leicht zu finden ist. Man glaubt aber, es auch mit gesundem Menschenverstand zu schaffen und fällt (oft) auf die Nase.

Das Problem:

Ein Showmaster zeigt einem Kandidaten drei verschlossenen Türen und erklärt ihm, daß sich hinter einer der Türen der Preis befindet, hinter den beiden anderen Türen aber Nieten (Ziegen, daher der Name).
Der Kandidat soll nun eine der drei Türen wählen. (Die sind zu, er muß also raten) Sobald das geschehen ist, öffnet der Showmaster einer der beiden verbliebenen Türen die eine Niete (Ziege) enthält, zeigt sie dem Kandidaten und erlaubt diesem seine getroffene Wahl nochmal zu überdenken.
Die Frage ist nun: macht es für den Kandidaten Sinn, die Türe nochmal zu wechseln?

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Das Problem ist nicht neu, also Lösungsvorschläge dürfen gepostet werden, aber bitte nur eigene, keine aus anderen Quellen bitte. Die Umfrage ist anonym.

unbedingt wechseln.

Achtung, bitte nur klicken, wer die Lösung haben will (Manfred_g als Mod)
http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/img2.png

[Biskra]

Oha. Und wo sind die anderen 50 %?

Hmm, ja. Sind dann wohl doch 2/3. Kommt mir aber so hoch vor.

[Madday]

Ziegenproblemerklärung: http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
Antwort: unbedingt wechseln

[Leo Navis]

Hä? Dann hab ich das Spiel irgendwie falsch verstanden.


In der originalen amerikanischen Version war nicht ausdrücklich festgelegt, dass Mr. Hall das bereits gewählte Tor nicht öffnet – das erschien nur so nach den bisherigen Spielen. Mr. Hall demonstrierte das bei einem Versuch, nachdem er den Text von Marilyn vos Savant genau analysiert hatte: Nachdem ein Kandidat das Tor 1 gewählt hatte, hinter dem eine Ziege stand, hätte er es öffnen können und sagen: ‚Leider eine Ziege‘. Als Spielleiter hatte Mr. Hall das theoretisch in der Hand. Nimmt man diese Verhaltensweise des Moderators an und öffnet man dann eine der anderen Türen, dann ist die Wahrscheinlichkeit jeweils 1/2.

[leuchtender Phönix]

Oha. Und wo sind die anderen 50 %?

Ganz einfach. Wenn man die Tür wechselt beträgt die Chance 50 % auf den Hauptpreis und 50 % auf den Trostpreis (Die Ziege).

[leuchtender Phönix]

Er hat anfangs drei Möglichkeiten, also eine Gewinnchance von einem Drittel.

Nun fällt ein Drittel weg, also ist die Gewinnchance bei seiner Tür nicht mehr ein Drittel sondern ein Halb. Bei beiden vebliebenen Türen.

Daher macht es keinerlei Sinn, neu zu wählen, oder anders: Es ist egal, was er danach wählt, ob er neuwählt oder nicht, weil bei beiden Türen die Chance 1:2 steht.

Da irrst du dich. Bei der ersten Wahl hast du in 2/3 aller Fälle die Ziege. Wenn du behälst, hast du nachher auch in 2/3 aller Fälle die Ziege.

Beim Wechseln sind nur 2 Möglichkeiten da. 50 % Ziege und 50 % Hauptpreis. Zu wechseln ist vorteilhaft.

[Gary Gilmore´s Eyes]

der moderator will nicht das du gewinnst und dich verwirren denn du hast schon gewonnen
nicht wechseln!

[tommy3333]

a) Der Kandidat wechselt. bei 3 Wahlmöglichkeiten (Ziege Emma, Ziege Klara, Auto) heißt das:

a1) Kandidat wählt Ziege Emma, der Moderator deckt Ziege Klara auf, und der Kandidat gewinnt das Auto.

a2) Kandidat wählt Ziege Klara, Moderator deckt Ziege Emma auf, und der Kandidat gewinnt das Auto.

a3) Kandidat wählt das Auto, der Moderator deckt eine der beiden Ziegen auf und der Kandidat bekommt die andere.

Macht eine Gewinnchance von 2/3, wenn der Kandidat wechselt.

b) Der Kandidat wechselt nicht. Dann liegen seine Chancen, das Auto zu bekommen, bei 1/3, da sich seine Entscheidung durch das Tor, das der Moderator zuerst öffnet, nicht ändert.

Diese Gewinnverteilung ergibt sich daraus, dass der Moderator weiß, wo das Auto steht, aber er das Auto nach der ersten Wahlentscheidung des Kandidaten nicht aufmachen darf (und diese Spielregel auch dem kandidaten bekannt ist).

Die Gewinnchancen des Kandidaten würden bei 50% liegen, wenn der Kandidat seine zweite Entscheidung rein zufällig (z.B. durch Münzwurf) und unabhängig von seiner ersten Entscheidung treffen würde.

PS:
Die Chance erhöht sich ebenfalls von 1/3 auf 50%, wenn der Kandidat (da er nicht weiß, wo sich das Auto befindet) selbst entscheiden müsste, welches der beiden nicht gewählten Tore der Moderator zuerst öffnen soll, auch auf die Gefahr hin, dass das Auto vorzeitig aufgedeckt wird und danach nur noch die beiden ziegen übrigbleiben, und dann auch nur unter der Voraussetzung, dass das Auto nach Öffnen des ersten Tores noch im Spiel geblieben ist (also wenn der Moderator dann auch wirklich eine Ziege aufgedeckt hat).

[Gary Gilmore´s Eyes]

der moderator handelt nach wirtschaftlichen gesichtspunkten das heißt für seinen sender.
ansonsten würde er dem kanidaten keine zweite chance geben
das ist doch logisch
die 1. wahl wahr richtig und darum will
der moderator den gewinn abwenden

[Götz]

Erst drei Möglichkeiten, danach wird eine Ziege "eleminiert".

Die beiden zunächst nicht gewählten Türen enthalten im

1. Fall 2 Ziegen - verweilen: richtig
2. Fall 1. Tür: Gewinn, 2. Tür: Ziege- verweilen: falsch
3. Fall 1. Tür:Ziege, 2. Tür: Gewinn-verweilen: falsch

Somit steht fest das in 2/3 der Fälle ein Wechsel zum Gewinn führt.

[Manfred_g]

Freut mich, daß es zum Nachdenken anregt :)
Ich hätte die Umfrage evtl. besser machen können, indem ich mehrere Wahrscheinlichkeiten zur Auswahl gestellt hätte, denn manchen sagen zwar, wechseln sei sinnvoll, es besteht aber Uneinigkeit darüber, ob die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2 oder 2/3 ist. Aber egal, man kann es auch so diskutieren. Man kann sogar die Lösung irgendwo nachschlagen und immer noch darüber grübeln, wie diese zustande kommt. :D
Deswegen finde ich diese Aufgabe irgendwie "fies".

[Gary Gilmore´s Eyes]

geh aufs ganze hieß mal ne sendung auf rtl, die dieses prinzip anwendete
und da gabs meines wissens nur 3 wahlmöglichkeiten.

[Gary Gilmore´s Eyes]

1,2,3 du wählst z.b. 2
hinter der 2 ist der gewinn
dann tut der moderator so als ob du daneben liegen würdest und eröffnet dir ein 2.Chance
er verleitet dich damit zu wechseln
der moderator ist dir sympatisch oder er macht dir weiß das er auf deiner seite steht
dann wechselst du
und hast verloren
das ist ein trick und hat nichts mit wahrseinlichkeitsrechnung zu tun

[Irratio]

der moderator will nicht das du gewinnst und dich verwirren denn du hast schon gewonnen
nicht wechseln!
Jain, das stimmt so auch nicht. In dem Fall wäre nämlich klar, dass er dich verwirren will. Insgesamt ist es unwirtschaftlich für ihn, ein Tor aufzudecken - unabhängig von seiner Entscheidung hast du nämlich immer ein mindestens 50 prozentige Chance zu gewinnen - die Gewinnchance verschlechtert sich nicht. Selbst, wenn er nur manchmal aufdeckt, um dich zu verwirren...
Vielleicht gibts da irgendwo ein Gleichgewicht, bzw. eine verbesserte Taktik, wenn er nur manchmal aufdeckt, z. B. in 2/3 der Fälle wechseln.

Irratio.

[Gary Gilmore´s Eyes]

@Irratio
er macht dir den vorschlag doch nur wenn du beim ersten raten richtig liegst

[Irratio]

@Irratio
er macht dir den vorschlag doch nur wenn du beim ersten raten richtig liegst
Nee, eben nicht. Wenn er das macht, dann wird die Strategie viel zu schnell durchschaut, und dir ist garantiert: Wenn er ein Tor aufdeckt, dann musst du bleiben, und hast 100% Gewinnchance. Als Moderator hast du ja nicht nur eine Show.
Andererseits würde daraus auch folgen, dass wenn er keins aufdeckt, solltest du unbedingt wechseln, und hättest somit insgesamt wieder eine Gewinnchance von 2/3.

In anderen Worten: Die Motive dürfen nicht klar sein. Wenn du aber z. B. zusätzlich in 50% der Fälle eins aufdeckst, wenn der Kandidat nicht nicht den Hauptgewinn gewählt hat, dann hast du die Chancen des Kandidaten wieder auf insgesamt 50% gesenkt...

Irratio.

[Gary Gilmore´s Eyes]

die lassen ab und zu einen gewinnen
so fällts nicht auf

[leuchtender Phönix]

1,2,3 du wählst z.b. 2
hinter der 2 ist der gewinn
dann tut der moderator so als ob du daneben liegen würdest und eröffnet dir ein 2.Chance
er verleitet dich damit zu wechseln
der moderator ist dir sympatisch oder er macht dir weiß das er auf deiner seite steht
dann wechselst du
und hast verloren
das ist ein trick und hat nichts mit wahrseinlichkeitsrechnung zu tun

Ich glaube das hat eher was mit Pokerface zu tun.
Wenn der Moderator vorhersieht das du so handeln wirst, dann wird er dir andeuten das du falsch liegen könntest wenn du wirklich falsch liegst.

Und wenn du richtig liegen solltest, wird er dir versichern das du richtig liegst, wodurch du ihm misstraus und eines der falschen Tore wählst.

Am besten lässt du dich nicht durschauen und ignorierst den Moderator.

[Don]

Das Problem:

Ein Showmaster zeigt einem Kandidaten drei verschlossenen Türen und erklärt ihm, daß sich hinter einer der Türen der Preis befindet, hinter den beiden anderen Türen aber Nieten (Ziegen, daher der Name).
Der Kandidat soll nun eine der drei Türen wählen. (Die sind zu, er muß also raten) Sobald das geschehen ist, öffnet der Showmaster einer der beiden verbliebenen Türen die eine Niete (Ziege) enthält, zeigt sie dem Kandidaten und erlaubt diesem seine getroffene Wahl nochmal zu überdenken.
Die Frage ist nun: macht es für den Kandidaten Sinn, die Türe nochmal zu wechseln?

Die 1/3 bzw. 2/3 Chance bezieht sich auf den Augangszustand.
Dies ist ein Denkfehler, denn er betrachtet die erste Auswahl des Kandidaten als Teil des Problems. Ist sie statistisch aber nicht.(Beziehungsweise ist sie nicht mehr, bei der zweiten Entscheidung).
Für die zweite Entscheidung, bleiben oder wechseln, stehen exakt noch zwei Möglichkeiten zur Verfügung. Schließen wir psychologische Verwirrspielchen mal aus (der Showmaster darf z.B. auch nicht wissen was hinter der von ihm geöffneten und den anderen Türen ist), kann die Wahrscheinlichkeit bei der zweiten Wahl nur 50% betragen.
Es ist also gleichgültig, ob der Kandidat wechselt oder nicht.

Vergleich mit Roulette. Alle Chancen sind für den aktuellen Satz immer gleich der Gewinnqoute (abzüglich anteilig Zero). Völlig wurscht, was beim vorherigen Wurf gefallen ist.

[Irratio]

Die 1/3 bzw. 2/3 Chance bezieht sich auf den Augangszustand.
Dies ist ein Denkfehler, denn er betrachtet die erste Auswahl des Kandidaten als Teil des Problems. Ist sie statistisch aber nicht.(Beziehungsweise ist sie nicht mehr, bei der zweiten Entscheidung).
Für die zweite Entscheidung, bleiben oder wechseln, stehen exakt noch zwei Möglichkeiten zur Verfügung. Schließen wir psychologische Verwirrspielchen mal aus (der Showmaster darf z.B. auch nicht wissen was hinter der von ihm geöffneten und den anderen Türen ist), kann die Wahrscheinlichkeit bei der zweiten Wahl nur 50% betragen.
Es ist also gleichgültig, ob der Kandidat wechselt oder nicht.

Vergleich mit Roulette. Alle Chancen sind für den aktuellen Satz immer gleich der Gewinnqoute (abzüglich anteilig Zero). Völlig wurscht, was beim vorherigen Wurf gefallen ist.
Genau hier liegt der Fehler... die Ereignisse sind nicht unabhängig. Es wird immer ein Tor geöffnet, dass der Kandidat nicht gewählt hat, und das Ergebnis, das man durch die Wahl eines bestimmten Tors erzielt ist schon festgelegt, bevor das Tor geöffnet wird. Die Logik hinter diesem Verfahren lautet, anders formuliert:
Wenn ein (Trostpreis-)Tor geöffnet wird, dann ist es in 2/3 aller Fälle desshalb geöffnet worden, weil das andere Tor gar nicht geöffnet werden konnte.

Irratio.

[Don]

Wie ich immer sage: Die Welt ist schlecht.

[Irratio]

Wie ich immer sage: Die Welt ist schlecht.
Warte, ich hab mal sowas ähnliches gesagt. Fällt mir bestimmt später wieder ein.

Irratio.

[Gary Gilmore´s Eyes]

wenn der jahrmarktsschausteller vor 100Jahren so gehandelt hätte und dir die zweite chance immer oder willkürlich eröffnet hätte, wäre er innerhalb kürzester zeit pleite gewesen. Also setzte er auf verwirrung und eröffnete dir die zweite chance in den meisten fällen nur wenn du richtig lagst.
in gewinnshows die sich mit gesponsorten preisen und werbung finanzieren, stimmt die mathematische lösung eher, trotzdem muß auf wirtschaftlichkeit geachtet werden. also ist die errechnete gewinnchance nicht ganz realistisch.

[John Donne]

Ein Problem, das viele von euch vermutlich kennen aber evtl. nicht alle ist das sog. "Ziegenproblem". Es ist auch unter anderen Namen bekannt und hat schon viele versierte Zeitgenossen genarrt (mich auch). Ich persönlich finde es heute noch verwirrend, obwohl ich die Lösung längst kenne.

Eigentlich geht es darum, daß mit Hilfe mathematischer Grundlagen Logik die Antwort recht leicht zu finden ist. Man glaubt aber, es auch mit gesundem Menschenverstand zu schaffen und fällt (oft) auf die Nase.

Das Problem:

Ein Showmaster zeigt einem Kandidaten drei verschlossenen Türen und erklärt ihm, daß sich hinter einer der Türen der Preis befindet, hinter den beiden anderen Türen aber Nieten (Ziegen, daher der Name).
Der Kandidat soll nun eine der drei Türen wählen. (Die sind zu, er muß also raten) Sobald das geschehen ist, öffnet der Showmaster einer der beiden verbliebenen Türen die eine Niete (Ziege) enthält, zeigt sie dem Kandidaten und erlaubt diesem seine getroffene Wahl nochmal zu überdenken.
Die Frage ist nun: macht es für den Kandidaten Sinn, die Türe nochmal zu wechseln?

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Das Problem ist nicht neu, also Lösungsvorschläge dürfen gepostet werden, aber bitte nur eigene, keine aus anderen Quellen bitte. Die Umfrage ist anonym.

Hehe, das ist interessant. Ich habe da vor Jahren mal ein Buch drüber gelesen, bin also in meiner Argumentationsweise sehr voreingenommen. Die richtige Lösung, daß man bei einem Wechsel seine Gewinnchance verdoppelt, wird m.E. am offensichtlichsten, wenn man das Problem ausdehnt: statt drei Türen seien 1.000.000 Türen gegeben, zwischen denen man wählen sollen (mit 999.999 Ziegen und einem Auto). Nachdem man nun gewählt hat, werden 999.998 Türen, hinter denen sich Ziegen (also Nieten) befinden, geöffnet, und es erfolgt das Angebot zu wechseln. (Nichts anderes tut der Showmaster auch bei drei Türen: er deckt alle Türen bis auf zwei - darunter die anfangs gewählte - auf, und alle Türen, die er aufdeckt, sind garantiert Nieten). Die Wahrscheinlichkeit, daß man bei 1.000.000 Türen ursprünglich richtig liegt, ist 1:999.999 (also recht klein) - und ändert sich nicht! Das wird klar, wenn man die Türen anfangs in zwei Gruppen einteilt: die gewählte Tür(1) und den Rest(999.999). Das Aufdecken verteilt nun die konstante Wahrscheinlichkeit, daß sich die Tür im Rest befindet (99,999%) auf immer weniger Türen - schließlich eine einzige! Zur Erhöhung der eigenen Gewinnerwartung sollte man also dringend auf diese wechseln.
Interessanterweise hatten wir letzten Jahr im machine learning Kurs auch eine Diskussion über dieses Problem, hehe.

Grüße
John